egp-4.1· Глава 4: Колебания и волны· ~14 мин

Механические колебания

Гармоническое колебание, амплитуда, период и частота, математический и пружинный маятники, превращения энергии при колебаниях

Механическое колебание — это повторяющееся движение тела вокруг положения равновесия. Время одного полного колебания называется периодом TT (единица — с), а число колебаний в секунду — частотой ν\nu (единица — Гц); они связаны соотношением T=1νT = \frac{1}{\nu}. Угловая частота находится по формуле ω=2πT=2πν\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu. Период математического маятника вычисляется как T=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, а пружинного маятника — как T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. При гармоническом колебании полная механическая энергия остаётся постоянной, а кинетическая и потенциальная энергии взаимно превращаются. В расчётах можно использовать приближения g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2 и π2≈10\pi^2 \approx 10. Пример: найдём период математического маятника длиной l=0,4 ml = 0{,}4\ \text{m}. T=2πlg=2π0,410=2π0,04=2π⋅0,2=0,4πT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}4}{10}} = 2\pi\sqrt{0{,}04} = 2\pi \cdot 0{,}2 = 0{,}4\pi с; при π2≈10\pi^2 \approx 10 имеем T2=4π2⋅lg≈4⋅10⋅0,410=1,6⇒T≈1,26T^2 = \frac{4\pi^2 \cdot l}{g} \approx \frac{4 \cdot 10 \cdot 0{,}4}{10} = 1{,}6 \Rightarrow T \approx 1{,}26 с.

Ключевые термины

Механическое колебание — Повторяющееся движение тела вокруг положения равновесия.
Амплитуда (AA) — Максимальное отклонение тела от положения равновесия.
Период (TT) — Время одного полного колебания; единица — секунда (с).
Частота (ν\nu) — Число полных колебаний в секунду; единица — герц (Гц).
Угловая частота (ω\omega) — Величина, определяемая формулой ω=2πT=2πν\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu; единица — рад/с.
Гармоническое колебание — Колебание, при котором полная механическая энергия остаётся постоянной, а кинетическая и потенциальная энергии взаимно превращаются.
Основные формулы колебаний
ВеличинаОбозначениеФормулаЕдиница
ПериодTTT=1νT = \frac{1}{\nu}с
Частотаν\nuν=1T\nu = \frac{1}{T}Гц
Угловая частотаω\omegaω=2πT=2πν\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nuрад/с
Период математического маятникаTTT=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}с
Период пружинного маятникаTTT=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}с

Можно использовать приближения g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2 и π2≈10\pi^2 \approx 10.

Сравнение математического и пружинного маятников
ХарактеристикаМатематический маятникПружинный маятник
Формула периодаT=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
Зависящие величиныдлина llмасса mm и жёсткость kk
Угловая частотаω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
Зависимость от массыне зависитT∼mT \sim \sqrt{m}

Период изменяется пропорционально квадратному корню из длины (ll) или из отношения массы к жёсткости.

✎Период математического маятника (l=0,9l = 0{,}9 м)
  1. 1Дано: l=0,9l = 0{,}9 м, g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2, π2≈10\pi^2 \approx 10.
  2. 2Формула: T=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.
  3. 3Подкоренное выражение: lg=0,910=0,09\frac{l}{g} = \frac{0{,}9}{10} = 0{,}09; 0,09=0,3\sqrt{0{,}09} = 0{,}3.
  4. 4Вычисление: T=2π⋅0,3=0,6πT = 2\pi \cdot 0{,}3 = 0{,}6\pi с.
  5. 5Результат: При π2≈10\pi^2 \approx 10 получаем T≈1,88T \approx 1{,}88 с.
✎Период пружинного маятника (m=0,1m = 0{,}1 кг, k=40k = 40 N/m)
  1. 1Дано: m=0,1m = 0{,}1 кг, k=40k = 40 N/m.
  2. 2Формула: T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
  3. 3Подкоренное выражение: mk=0,140=0,0025\frac{m}{k} = \frac{0{,}1}{40} = 0{,}0025; 0,0025=0,05\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05.
  4. 4Вычисление: T=2π⋅0,05=0,1πT = 2\pi \cdot 0{,}05 = 0{,}1\pi с.
  5. 5Результат: Период T=0,1πT = 0{,}1\pi с.
🚫Частая ошибка

Период — величина, обратная частоте: для ν=50\nu = 50 Гц имеем T=150=0,02T = \frac{1}{50} = 0{,}02 с; не ошибитесь с запятой и не пишите 0,20{,}2 с.

⚠️Внимание

Не забывайте множитель 2 перед корнем: если 0,01=0,1\sqrt{0{,}01} = 0{,}1, то T=2π⋅0,1=0,2πT = 2\pi \cdot 0{,}1 = 0{,}2\pi с, а не 0,1π0{,}1\pi с.

⚠️Внимание

Период обратно пропорционален g\sqrt{g} и k\sqrt{k}: при увеличении gg (или kk) период уменьшается, а при увеличении ll (или mm) — возрастает.

💡Заметка

В крайней точке (x=Ax = A) потенциальная энергия максимальна, а в положении равновесия — максимальна кинетическая; полная энергия остаётся постоянной.

Правила

  1. 1Частота и период: ν=1T\nu = \frac{1}{T}, T=1νT = \frac{1}{\nu} (единицы: ν→\nu \rightarrow Гц, T→T \rightarrow с).
  2. 2Угловая частота: ω=2πT=2πν\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu (единица — рад/с).
  3. 3Математический маятник: T=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} (g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2).
  4. 4Пружинный маятник: T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} (k→k \rightarrow жёсткость, N/m).
  5. 5Приближение: π2≈10\pi^2 \approx 10, поэтому T2=4π2⋅lg≈40⋅lgT^2 = \frac{4\pi^2 \cdot l}{g} \approx \frac{40 \cdot l}{g} (математический маятник).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс