egp-1.1· Глава 1: Механика· ~14 мин

Кинематика

Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение, свободное падение и средняя скорость

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая его причины. При равномерном прямолинейном движении скорость постоянна, а перемещение находится по формуле $s = v \cdot t$ . При равноускоренном движении скорость изменяется равномерно через равные промежутки времени: $v = v_0 + a \cdot t$ , а перемещение равно $s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$ . Свободное падение — частный случай равноускоренного движения: ускорение $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , начальная скорость (при простом отпускании) равна нулю, поэтому $h = \frac{g \cdot t^2}{2}$ и $v = g \cdot t$ . Средняя скорость — это отношение всего пути ко всему времени: $v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{полн}}}{t_{\text{полн}}}$ .

📌Пример

Например: если тело движется с $v_0 = 4 \ \text{m/s}$ и ускорением $a = 2 \ \text{m/s}^2$ в течение 3 с, то перемещение $s = 4 \cdot 3 + \frac{2 \cdot 3^2}{2} = 12 + 9 = 21 \ \text{m}$ , а конечная скорость $v = 4 + 2 \cdot 3 = 10 \ \text{m/s}$ .

Ключевые термины

Скорость (

v

) — Отношение перемещения тела к прошедшему времени; при равномерном движении остаётся постоянной. Единица измерения —

\text{m/s}

Ускорение (

a

) — Изменение скорости за единицу времени:

a = \frac{v - v_0}{t}

. При равноускоренном движении постоянно. Единица измерения —

\text{m/s}^2

Перемещение (

s

) — Прямолинейное расстояние между начальным и конечным положением тела. Единица измерения — м.

Ускорение свободного падения (

g

) — Ускорение тела, падающего только под действием силы тяжести; в задачах принимается

g = 10 \ \text{m/s}^2

Средняя скорость — Отношение всего пути ко всему времени:

v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{полн}}}{t_{\text{полн}}}

. Не является простым средним скоростей.

Равноускоренное движение — Движение с постоянным ускорением; скорость изменяется на одинаковую величину за равные промежутки времени.

Основные формулы кинематики

Величина	Формула	Единица
Путь при равномерном движении	$s = v \cdot t$	м
Конечная скорость	$v = v_0 + a \cdot t$	м/с
Путь при равноускоренном движении	$s = v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$	м
Связь скорости и пути	$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s$	$(\text{m/s})^2$
Скорость при свободном падении	$v = g \cdot t$	м/с
Высота свободного падения	$h = \dfrac{g \cdot t^2}{2}$	м

При свободном падении $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , при отпускании без начальной скорости $v_0 = 0$ .

Вертикальный бросок вверх (

g = 10 \ \text{m/s}^2

)

Величина	Формула	Пояснение
Время подъёма	$t = \dfrac{v_0}{g}$	до наивысшей точки
Максимальная высота	$h = \dfrac{v_0^2}{2g}$	в верхней точке $v = 0$
Полное время полёта	$t = \dfrac{2 \cdot v_0}{g}$	до возвращения обратно
Текущая скорость	$v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h$	на заданной высоте

В наивысшей точке мгновенная скорость равна нулю.

✎Путь и конечная скорость при равноускоренном движении

1Дано: $v_0 = 4 \ \text{m/s}$ , $a = 2 \ \text{m/s}^2$ , $t = 3 \ \text{s}$ .
2Формула пути: $s = v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2} = 4 \cdot 3 + \dfrac{2 \cdot 3^2}{2}$ .
3Вычисление: $s = 12 + \dfrac{2 \cdot 9}{2} = 12 + 9 = 21 \ \text{m}$ .
4Конечная скорость: $v = v_0 + a \cdot t = 4 + 2 \cdot 3 = 10 \ \text{m/s}$ .

✎Средняя скорость на двух половинах пути

1Дано: Первая половина — $20 \ \text{m/s}$ , вторая половина — $30 \ \text{m/s}$ , каждая половина $= s/2$ .
2Времена: $t_1 = \dfrac{s/2}{20}$ , $t_2 = \dfrac{s/2}{30}$ ; полное время $t = t_1 + t_2$ .
3Формула средней скорости: $v_{\text{ср}} = \dfrac{s}{t_1 + t_2} = \dfrac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$ .
4Вычисление: $v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot 20 \cdot 30}{20 + 30} = \dfrac{1200}{50} = 24 \ \text{m/s}$ .

⚠️Внимание

Проверяйте единицы: чтобы перевести км/ч в м/с, делите на $3{,}6$ ( $72 \ \text{км/ч} = 20 \ \text{м/с}$ ); переводите минуты в секунды (2 мин = 120 с).

🚫Частая ошибка

При равноускоренном движении не забывайте о начальной скорости. Для $v_0 = 8$ , $a = 3$ , $t = 4$ имеем $v = v_0 + a \cdot t = 8 + 12 = 20 \ \text{m/s}$ , а не просто $a \cdot t = 12$ .

🚫Частая ошибка

Средняя скорость — не простое среднее скоростей. Для двух равных половин пути $v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$ , а не $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ .

💡Заметка

Когда скорость и путь заданы вместе без времени, формула $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s$ очень удобна, так как время в неё не входит.

⚠️Внимание

При вертикальном броске вверх в наивысшей точке скорость равна нулю; время подъёма $t = \dfrac{v_0}{g}$ , а полное время полёта вдвое больше — $\dfrac{2 \cdot v_0}{g}$ .

Правила

1Равномерное движение: $s = v \cdot t$ .
2Равноускоренное движение: $v = v_0 + a \cdot t$ .
3Перемещение: $s = v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$ .
4Связь скорости и пути: $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s$ .
5Свободное падение ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ): $h = \dfrac{g \cdot t^2}{2}$ , $v = g \cdot t$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс