Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər
sin x=a, cos x=a, tan x=a ümumi həlli; tərs triqonometrik funksiyalar.
Triqonometrik tənliklər həll edərkən ümumi həll düsturlarını bilmək vacibdir. sin x = a (|a| ≤ 1) tənliyinin ümumi həlli x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ şəklindədir. cos x = a tənliyi üçün x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ, tan x = a tənliyi üçün isə x = arctan a + πn, n ∈ ℤ düsturu tətbiq edilir. Tərs triqonometrik funksiyalar (arcsin, arccos, arctan) müvafiq olaraq [−π/2, π/2], [0, π] və (−π/2, π/2) oblastında qiymət alır. Bu funksiyalar əsas qiymətləri (məsələn, arcsin(1/2) = π/6, arccos(0) = π/2, arctan(1) = π/4) əzbərləməklə tez hesablanır. Bərabərsizlikləri həll edərkən vahid çevrədə uyğun qövsü müəyyənləşdirib məntiqi qaydada cavab yazılır. Mürəkkəb tənliklər isə əvəzləmə (məs. t = sin x) vasitəsilə kvadrat tənliyə gətirilir.
Məsələn: sin²x − sin x − 2 = 0 tənliyini t = sin x əvəzləməsi ilə t² − t − 2 = 0 → (t−2)(t+1) = 0 → t = −1 → sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn alırıq.
Qaydalar
- 1sin x = a ümumi həlli: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ; |a| > 1 olduqda həll yoxdur.
- 2cos x = a ümumi həlli: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ; |a| > 1 olduqda həll yoxdur.
- 3tan x = a ümumi həlli: x = arctan a + πn, n ∈ ℤ; təyin oblastı x ≠ π/2 + πn.
- 4Tərs funksiyaların əsas oblastları: arcsin ∈ [−π/2, π/2], arccos ∈ [0, π], arctan ∈ (−π/2, π/2).
- 5t = sin x (və ya cos x) əvəzləməsi ilə tənlik kvadrat şəklə gətirilir; t-nin tapılan qiymətlərinin |t| ≤ 1 şərtini ödəməsi yoxlanılmalıdır.
Məşq
15 asan · 15 orta · 15 çətin