Kompleks ədədlər və əməllər
z=a+bi, əməllər, modul, arqument, triqonometrik şəkil.
Kompleks ədəd z = a + bi şəklində yazılır, burada a ∈ ℝ — həqiqi hissə, b ∈ ℝ — xəyali hissə, i isə xəyali vahiddir: i² = −1. İki kompleks ədədi toplamaq və çıxmaq üçün həqiqi hissələr ayrı, xəyali hissələr ayrı toplanır (çıxılır). Vurma zamanı açılış aparılır, i² = −1 istifadə olunur. Bölmə isə məxrəci real etmək üçün surət və məxrəb qoşma ədədə — z̄ = a − bi — vurulur: z₁/z₂ = (z₁·z̄₂)/(|z₂|²). Kompleks ədədin modulu |z| = √(a² + b²), arqumenti isə φ = arg z — müsbət x-oxu ilə z vektorunun düzəltdiyi bucaqdır (φ ∈ (−π; π]). Kompleks müstəvidə z = a + bi nöqtəsi (a; b) koordinatına uyğundur. Triqonometrik şəkil: z = r(cos φ + i sin φ), burada r = |z|. Cəbri şəkildən triqonometrik şəklə keçmək üçün r tapılır, cos φ = a/r, sin φ = b/r yazılır.
Məsələn: z = 1 + i√3 üçün r = √(1² + (√3)²) = 2, cos φ = 1/2, sin φ = √3/2, yəni φ = π/3 və z = 2(cos π/3 + i sin π/3).
Qaydalar
- 1i² = −1; i³ = −i; i⁴ = 1 — dövrü nəzərə alaraq iⁿ-ni sadələşdir: qalan = n mod 4.
- 2Toplama/çıxma: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i — həqiqi və xəyali hissələr ayrı.
- 3Vurma: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i — mötərizəni aç, i²=−1 qoy.
- 4Bölmə: z₁/z₂-ni hesablamaq üçün surəti və məxrəbi qoşma ədədlə (z̄₂) vur; məxrəb |z₂|² = c²+d² real alınır.
- 5Modul |z| = √(a²+b²); triqonometrik şəkil z = r(cos φ + i sin φ), cos φ = a/r, sin φ = b/r.
Məşq
15 asan · 15 orta · 15 çətin