m6-9.4· Fəsil 9: Statistika. Ehtimal· ~25 dəq

Ehtimal və mümkün halların sayı

Ehtimal və hadisələr

Ehtimal — bir hadisənin baş vermə imkanının ədədi ölçüsüdür. Təsadüfi təcrübədə mümkün olan bütün nəticələrə mümkün hallar deyilir, bizi maraqlandıran hadisəyə uyğun gələn nəticələrə isə əlverişli hallar deyilir. Ehtimal düsturla hesablanır: $P(\text{hadisə})=\dfrac{\text{əlverişli halların sayı}}{\text{mümkün halların sayı}}$ . Ehtimal həmişə $0$ ilə $1$ arasında olur: $0\le P\le1$ . Əgər hadisə heç vaxt baş verə bilmirsə, o, mümkün olmayan hadisə adlanır və $P=0$ ; əgər hadisə hər zaman baş verirsə, o, yəqin hadisə adlanır və $P=1$ . Hadisələr baş vermə şansına görə müqayisə olunur: əgər iki hadisənin ehtimalı bərabərdirsə, onlar eyniehtimallı hadisələr adlanır (məsələn, zərin cüt və ya tək düşməsi, hər biri $\dfrac12$ ). Ehtimalı $0{,}5$ -dən kiçik olan hadisə azehtimallı, $0{,}5$ -dən böyük olan hadisə isə çoxehtimallı hesab olunur. Mümkün halların sayını təyin etmək üçün təcrübənin bütün nəticələrini sadalamaq lazımdır: bir zər atıldıqda $6$ mümkün hal var ( $1,2,3,4,5,6$ ), sikkə atıldıqda isə $2$ mümkün hal var (gerb, rəqəm).

📌Nümunə

Məsələn, zər atıldıqda cüt ədəd düşmə ehtimalı: əlverişli hallar $\{2,4,6\}$ , yəni $3$ hal, mümkün hallar $6$ , deməli $P(\text{cüt})=\dfrac{3}{6}=\dfrac12$ ; $4$ -dən böyük ədəd düşmə ehtimalı isə $P(>4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$ . Torbada $3$ qırmızı və $2$ mavi kürə olduqda təsadüfi çıxarılan kürənin qırmızı olma ehtimalı $P(\text{qırmızı})=\dfrac{3}{5}$ -dir, çünki bütün kürələrin sayı $3+2=5$ -dir. Nisbətən mürəkkəb hadisələrdə (məsələn, iki şərtin eyni vaxtda ödənməsi) əlverişli halları diqqətlə, bir-bir sadalamaq lazımdır ki, heç biri buraxılmasın və ikiqat sayılmasın.

İki zərin atılması: 36 mümkün hal, cəm = 7 (6 hal)

Əsas terminlər

Ehtimal — Bir hadisənin baş vermə imkanının ədədi ölçüsüdür:

P(\text{hadisə})=\frac{\text{əlverişli halların sayı}}{\text{mümkün halların sayı}}

, həmişə

0\le P\le1

Mümkün hallar — Təsadüfi təcrübənin baş verə biləcək bütün nəticələridir (məsələn, zər atıldıqda

6

mümkün hal —

1,2,3,4,5,6

Əlverişli hallar — Mümkün hallardan bizi maraqlandıran hadisəyə uyğun gələn nəticələrdir (məsələn, zərdə cüt ədəd düşməsi üçün əlverişli hallar

\{2,4,6\}

, yəni

3

hal).

Mümkün olmayan hadisə — Heç vaxt baş verə bilməyən hadisədir; əlverişli halların sayı

0

olduğundan ehtimalı

P=0

-dır.

Yəqin hadisə — Hər zaman, mütləq baş verən hadisədir; əlverişli hallar bütün mümkün hallara bərabər olduğundan ehtimalı

P=1

-dir.

Eyniehtimallı / azehtimallı / çoxehtimallı hadisələr — Ehtimalları bərabər olan hadisələr eyniehtimallı adlanır; ehtimalı

0{,}5

-dən kiçik olan hadisə azehtimallı,

0{,}5

-dən böyük olan hadisə isə çoxehtimallı hesab olunur.

Bir zər atıldıqda əsas hadisələr və ehtimalları

Hadisə	Əlverişli hallar	Əlverişli halların sayı	Ehtimal
Cüt ədəd düşməsi	$\{2,4,6\}$	$3$	$\frac{3}{6}=\frac12$
Tək ədəd düşməsi	$\{1,3,5\}$	$3$	$\frac{3}{6}=\frac12$
$4$ -dən böyük ədəd düşməsi	$\{5,6\}$	$2$	$\frac{2}{6}=\frac13$
Düz $6$ düşməsi	$\{6\}$	$1$	$\frac{1}{6}$
$7$ -dən böyük ədəd düşməsi	$\varnothing$	$0$	$\frac{0}{6}=0$

İki sikkə atıldıqda mümkün nəticələr

Nəticə	Təsviri	Hər ikisi gerbdirmi?	Ən azı bir gerb varmı?
gerb-gerb	Hər iki sikkə gerb	Bəli	Bəli
gerb-rəqəm	Birinci gerb, ikinci rəqəm	Xeyr	Bəli
rəqəm-gerb	Birinci rəqəm, ikinci gerb	Xeyr	Bəli
rəqəm-rəqəm	Hər iki sikkə rəqəm	Xeyr	Xeyr

✎Zərlə iki şərtin eyni vaxtda ödənməsi

1Şərt: Bir zər atılır. Düşən ədədin $2$ -dən böyük VƏ cüt olma ehtimalını tapın.
2Həll: Əvvəlcə hər şərtə uyğun halları ayrıca yazaq: $2$ -dən böyük ədədlər $\{3,4,5,6\}$ , cüt ədədlər $\{2,4,6\}$ . Hər iki şərtə eyni vaxtda uyğun gələn ədədlər bu iki çoxluğun kəsişməsidir: $\{4,6\}$ , yəni $2$ əlverişli hal. Mümkün hallar $6$ -dır. Deməli $P=\frac{2}{6}=\frac13$ .

✎Tərs hadisə ilə hesablama

1Şərt: Torbada $4$ qırmızı, $2$ yaşıl və $4$ sarı kürə var (cəmi $10$ kürə). Təsadüfi çıxarılan kürənin yaşıl OLMAMA ehtimalını tapın.
2Həll: Bütün kürələrin sayı $4+2+4=10$ -dur. Əvvəlcə yaşıl kürənin çıxma ehtimalını tapaq: $P(\text{yaşıl})=\frac{2}{10}=\frac15$ . Yaşıl olmama hadisəsi yaşıl olma hadisəsinin tərsidir, ona görə $P(\text{yaşıl olmama})=1-P(\text{yaşıl})=1-\frac15=\frac45$ . Yoxlama: yaşıl olmayan kürələr $4+4=8$ ədəddir, $P=\frac{8}{10}=\frac45$ — nəticə eynidir.

💡Qeyd

Ehtimalı tapmaq üçün əvvəlcə təcrübənin BÜTÜN mümkün hallarını diqqətlə sadalayın, sonra onların arasından əlverişli halları seçin — tələsik hesablama səhvə aparır.

⚠️Diqqət

Kəsri tərsinə yazmayın: düsturda surət HƏMİŞƏ əlverişli halların sayı, məxrəc isə mümkün halların sayı olmalıdır — $P(\text{hadisə})=\frac{\text{əlverişli}}{\text{mümkün}}$ , əksinə yox.

🚫Tez-tez səhv

Tez-tez edilən səhv: sərhəd ədədini yanlış daxil/xaric etmək — məsələn, " $4$ -dən böyük" deyərkən $\{5,6\}$ nəzərdə tutulur, $4$ -ü də daxil edib $\{4,5,6\}$ yazmaq səhvdir.

💡Qeyd

Hesabladığınız ehtimalı yoxlayın: nəticə həmişə $0\le P\le1$ aralığında olmalıdır; mənfi ədəd və ya $1$ -dən böyük ədəd almısınızsa, hesablamada səhv var.

Qaydalar

1 $P(\text{hadisə})=\dfrac{\text{əlverişli halların sayı}}{\text{mümkün halların sayı}}$ — həmişə $0\le P\le1$ .
2Mümkün olmayan hadisənin ehtimalı $P=0$ , yəqin hadisənin ehtimalı $P=1$ -dir.
3Ehtimalları bərabər olan hadisələr eyniehtimallıdır; $P<0{,}5$ olan hadisə azehtimallı, $P>0{,}5$ olan hadisə çoxehtimallıdır.
4Bir zər atıldıqda $6$ , bir sikkə atıldıqda isə $2$ mümkün hal olur — bütün nəticələri sadalamaqla mümkün halların sayı tapılır.
5Mürəkkəb hadisələrdə əlverişli halları diqqətlə sadalamaq lazımdır — hər əlverişli halı bir dəfə, heç birini buraxmadan hesablamaq vacibdir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Ehtimal və mümkün halların sayı

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq