m6-9.3· Fəsil 9: Statistika. Ehtimal· ~25 dəq

Ədədi orta, moda, median və proqnoz

Ortalama, moda, median

Statistikada verilənlər toplusunu təsvir etmək üçün üç mərkəzi ölçüdən istifadə olunur: ədədi orta, moda və median. Ədədi orta (orta hesab) bütün qiymətlərin cəminin onların sayına bölünməsi ilə tapılır: $\frac{\text{cəm}}{\text{say}}$ . Məsələn, $4,7,7,9,3$ ədədləri üçün cəm $=4+7+7+9+3=30$ , say $=5$ -dir, ədədi orta $=\frac{30}{5}=6$ .

Moda verilənlər toplusunda ən çox təkrarlanan qiymətdir. Yuxarıdakı misalda $7$ ədədi iki dəfə, digərləri isə bir dəfə rast gəlindiyi üçün moda $=7$ -dir. Bəzən heç bir qiymət təkrarlanmır — onda moda yoxdur; bəzən bir neçə qiymət eyni sayda təkrarlanır — onda bir neçə moda ola bilər.

Median sıralanmış (artan və ya azalan sıraya düzülmüş!) verilənlərin düz ortasında duran qiymətdir. Median tapmazdan əvvəl ədədləri MÜTLƏQ sıralamaq lazımdır — bu, ən çox buraxılan səhvdir. Yuxarıdakı misalda sıralanmış sıra $3,4,7,7,9$ -dur, orta (3-cü) üzv $7$ -dir, ona görə median $=7$ . Əgər verilənlərin sayı cütdürsə, median iki orta ədədin ədədi ortasına bərabərdir: $2,5,8,9$ üçün orta iki ədəd $5$ və $8$ -dir, median $=\frac{5+8}{2}=6{,}5$ .

Proqnoz — keçmiş verilənlərin (məsələn, ədədi ortanın) əsasında gələcək üçün əsaslandırılmış təxmin verməkdir. Məsələn, gündəlik satışın ədədi ortası $20$ -dirsə, növbəti $7$ gün üçün proqnoz $20\times7=140$ olar.

Nöqtə diaqramı: ədədi orta, moda və median

Əsas terminlər

Ədədi orta (orta hesab) — Verilənlər toplusundakı bütün qiymətlərin cəminin onların sayına bölünməsi:

\frac{\text{cəm}}{\text{say}}

Moda — Verilənlər toplusunda ən çox təkrarlanan qiymət; heç bir qiymət təkrarlanmırsa moda yoxdur, bir neçə qiymət eyni sayda təkrarlanırsa bir neçə moda ola bilər.

Median — Sıralanmış (artan və ya azalan) verilənlərin düz ortasında duran qiymət; verilənlərin sayı cütdürsə, median orta iki ədədin ədədi ortasına (

\frac{a+b}{2}

) bərabərdir.

Proqnoz — Keçmiş verilənlərin (məsələn, ədədi ortanın) əsasında gələcək nəticə üçün əsaslandırılmış təxmin, adətən

\text{ədədi orta}\times\text{dövr sayı}

şəklində hesablanır.

Sıralanmış sıra — Verilənlərin artan (kiçikdən böyüyə) və ya azalan (böyükdən kiçiyə) ardıcıllıqla düzülməsi; median tapmazdan əvvəl bu addım MÜTLƏQ yerinə yetirilməlidir.

Mərkəzi tendensiya ölçüləri — Verilənlər toplusunun 'tipik' qiymətini göstərən statistik ölçülər; ədədi orta, moda və median bu ölçülərə aiddir.

Ədədi orta, moda və median: tərif və hesablama üsulu

Ölçü	Tərif	Düstur/Üsul
Ədədi orta	Bütün qiymətlərin orta səviyyəsi	$\frac{\text{cəm}}{\text{say}}$
Moda	Ən çox təkrarlanan qiymət	Tezliyi ən yüksək olan qiyməti tapmaq
Median	Sıralanmış verilənlərin orta qiyməti	Sırala, sonra orta üzvü (tək saydırsa) və ya orta iki üzvün ədədi ortasını (cüt saydırsa) tap

3,4,7,7,9

ədədləri üçün üç ölçünün hesablanması

Ölçü	Hesablama	Nəticə
Cəm	$3+4+7+7+9$	$30$
Ədədi orta	$\frac{30}{5}$	$6$
Moda	$7$ ədədi iki dəfə təkrarlanır	$7$
Median	Sıralanıb ( $3,4,7,7,9$ ), orta (3-cü) üzv	$7$

✎Ədədi orta, moda və median — tək sayda verilən

1Şərt: $5$ nəfərin son yoxlama yazısından aldığı bal: $7, 9, 7, 10, 7$ . Bu balların ədədi ortasını, modasını və medianını tapın.
2Həll: Ədədi orta: cəm $=7+9+7+10+7=40$ , say $=5$ , ədədi orta $=\frac{40}{5}=8$ . Moda: $7$ balı üç dəfə ( $7,7,7$ ), $9$ və $10$ isə bir dəfə rast gəlinir, ona görə moda $=7$ . Median: əvvəlcə sıralayaq: $7,7,7,9,10$ . Say tək ( $5$ bal) olduğu üçün orta (3-cü) üzv medianı verir: median $=7$ .

✎Cüt sayda verilən və proqnoz

1Şərt: Bir mağazada $6$ gün ərzində satılan meyvə qutularının sayı: $12, 9, 15, 24, 12, 18$ . Bu verilənlərin ədədi ortasını, modasını, medianını tapın və gündəlik ədədi ortaya əsasən $30$ günlük ay üçün satış proqnozu verin.
2Həll: Ədədi orta: cəm $=12+9+15+24+12+18=90$ , say $=6$ , ədədi orta $=\frac{90}{6}=15$ . Moda: $12$ ədədi iki dəfə, digərləri bir dəfə rast gəlinir, ona görə moda $=12$ . Median: əvvəlcə sıralayaq: $9,12,12,15,18,24$ . Say cüt ( $6$ ) olduğu üçün orta iki ədədin ( $12$ və $15$ ) ədədi ortasını taparıq: median $=\frac{12+15}{2}=13{,}5$ . Proqnoz: $30$ günlük ay üçün gözlənilən satış $=$ gündəlik ədədi orta $\times$ gün sayı $=15\times30=450$ qutu.

🚫Tez-tez səhv

Medianı tapmazdan əvvəl verilənləri sıralamadan, birbaşa verilmiş sıradakı orta mövqedəki ədədi götürmək — bu, ən çox rast gəlinən səhvdir. HƏMİŞƏ əvvəlcə artan (və ya azalan) sıraya düz, YALNIZ sonra orta üzvü müəyyənləşdir.

💡Qeyd

Tək sayda verilənlərdə median sıralanmış sıranın birbaşa orta üzvüdür; cüt sayda verilənlərdə isə median $=\frac{a+b}{2}$ (ortadakı iki ədədin ədədi ortası).

⚠️Diqqət

Modanın həmişə mövcud olduğunu düşünmə: heç bir qiymət təkrarlanmırsa moda yoxdur, bir neçə qiymət eyni (ən yüksək) sayda təkrarlanırsa isə bir neçə moda ola bilər.

🚫Tez-tez səhv

Ədədi ortanı tapmaqda tez-tez rast gəlinən xəta — yalnız qiymətlərin cəmini hesablayıb bölməyi unutmaqdır. Düzgün düstur $\frac{\text{cəm}}{\text{say}}$ -dır, sadəcə cəm deyil.

Qaydalar

1Ədədi orta: $\frac{\text{cəm}}{\text{say}}$ — bütün qiymətləri toplayıb sayına bölmək.
2Moda — ən çox təkrarlanan qiymətdir; heç ola bilməz və ya bir neçə ola bilər.
3Median tapmazdan əvvəl verilənləri MÜTLƏQ artan (və ya azalan) sıraya düzmək lazımdır.
4Tək saylı verilənlərdə median — sıralanmış sıranın orta üzvü; cüt saylı verilənlərdə median $=\frac{a+b}{2}$ (ortadakı iki ədədin ədədi ortası).
5Proqnoz: gündəlik (və ya dövrü) ədədi ortanı dövr sayına vuraraq gələcək nəticəni təxmin etmək olar.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Ədədi orta, moda, median və proqnoz

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq