eg1-1.1· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Проценты, отношения и пропорции

Процентные вычисления, прямая и обратная пропорциональность, отношения, задачи на смеси, растворы и движение.

$p\%$ числа $a$ — это его $\frac{p}{100}$ часть: $p\%$ от $a$ $= a \cdot \frac{p}{100}$ . Если некоторая величина сначала увеличивается на $x\%$ , а затем уменьшается на $y\%$ , итоговый множитель равен $\left(1+\frac{x}{100}\right) \cdot \left(1-\frac{y}{100}\right)$ . При прямой пропорциональности отношение постоянно ( $y = kx$ ), при обратной пропорциональности произведение постоянно ( $x \cdot y =$ const).

В пропорции $a:b = c:d$ произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$ .

Пример: число $80$ сначала увеличили на $25\%$ , затем результат уменьшили на $20\%$ . $80 \cdot 1,25 = 100$ , затем $100 \cdot 0,80 = 80$ — получаем исходное значение.

Ключевые термины

Процент —

\frac{p}{100}

часть числа:

p\%

от

a

= a \cdot \frac{p}{100}

. При этом

100\%

соответствует целому числу.

Пропорция — Равенство двух отношений:

a:b = c:d

. Произведение крайних членов равно произведению средних:

a \cdot d = b \cdot c

Прямая пропорциональность — Отношение остаётся постоянным (

y = kx

\frac{a}{b}

const); при увеличении одной величины другая пропорционально растёт.

Обратная пропорциональность — Произведение остаётся постоянным (

x \cdot y =

const); при увеличении одной величины другая пропорционально уменьшается (рабочие × дни).

Последовательное процентное изменение — Проценты не складываются, а перемножаются: итог

=

начало

\cdot \left(1 \pm \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 \pm \frac{y}{100}\right)

Концентрация смеси (раствора) — Чистое вещество

=

масса

\cdot \frac{\text{концентрация}}{100}

; концентрация

= \frac{\text{чистое вещество}}{\text{общая масса}} \cdot 100\%

Формулы для процентов и отношений

Тип задачи	Формула
$p\%$ от $a$	$a \cdot \frac{p}{100}$
Сколько процентов $a$ от $b$	$\frac{a}{b} \cdot 100\%$
Число, $p\%$ которого равно $a$	$\frac{a}{p/100} = \frac{a \cdot 100}{p}$
Пропорция $a:b = c:d$	$a \cdot d = b \cdot c$
Чистое вещество в смеси	масса $\cdot \frac{\text{концентрация}}{100}$
Движение (путь)	$s = v \cdot t$

Основные расчётные формулы данной главы.

Последовательное изменение процентов: итоговый множитель

Изменение	Итоговый множитель	Результат
$+20\%$ затем $-20\%$	$1,2 \cdot 0,8 = 0,96$	уменьшилось на $4\%$
$+25\%$ затем $-16\%$	$1,25 \cdot 0,84 = 1,05$	увеличилось на $5\%$
$+50\%$ затем $-40\%$	$1,5 \cdot 0,6 = 0,9$	уменьшилось на $10\%$
$-20\%$ затем $+25\%$	$0,8 \cdot 1,25 = 1$	не изменилось

Множители перемножаются, проценты не складываются; результат больше $1$ — рост, меньше $1$ — уменьшение.

✎Последовательные проценты: как изменится число при

+20\%

и затем

-20\%

1Выбираем начальное значение: Принимаем начальную цену равной $100$ (для удобства вычислений).
2Применяем увеличение: Увеличение на $20\%$ : $100 \cdot 1,2 = 120$ .
3Применяем уменьшение: Уменьшение новой цены на $20\%$ : $120 \cdot 0,8 = 96$ .
4Сравниваем: Итоговый множитель $1,2 \cdot 0,8 = 0,96$ ; так как $96 < 100$ , цена уменьшилась на $4\%$ .

✎Смешивание двух растворов: какова концентрация?

1Дано: Смешивают $300$ г $10\%$ -го и $200$ г $30\%$ -го раствора соли.
2Находим чистую соль в каждом растворе: $300 \cdot \frac{10}{100} = 30$ г и $200 \cdot \frac{30}{100} = 60$ г.
3Суммируем соль и массу: Чистая соль: $30 + 60 = 90$ г; общая масса: $300 + 200 = 500$ г.
4Вычисляем концентрацию: $\frac{90}{500} \cdot 100\% = 18\%$ . Ответ: $18\%$ .

🚫Частая ошибка

Складывать последовательные проценты — ошибка. Для $+25\%$ и затем $-16\%$ не $25 - 16 = 9$ , а $1,25 \cdot 0,84 = 1,05$ , то есть рост на $5\%$ .

⚠️Внимание

Обращай внимание, от какой цены считается уменьшение или увеличение: в задаче вида «цена снизилась на $20\%$ и стала $80$ » начальное число равно $\frac{80}{0,8}$ , а не $80 - 16$ .

⚠️Внимание

При обратной пропорциональности (рабочие–дни, насосы–часы) при увеличении количества время УМЕНЬШАЕТСЯ. $8 \cdot 15 = 12 \cdot t \Rightarrow t = 10$ ; не пиши как прямую пропорциональность $\frac{15 \cdot 12}{8}$ .

💡Заметка

«Увеличить на $x\%$ , затем уменьшить на $x\%$ » всегда даёт $\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right) = 1 - \frac{x^2}{10000}$ — результат никогда не возвращается к начальному значению.

💡Заметка

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: $a:b = c:d \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ . Это самый быстрый способ найти $x$ .

Правила

1 $p\%$ от $a$ $= a \cdot \frac{p}{100}$ ; то число, частью которого является $p\%$ , принимается за $100\%$ .
2Последовательное изменение: итог $=$ начало $\cdot \left(1 \pm \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 \pm \frac{y}{100}\right)$ ; проценты не складываются, а перемножаются.
3Прямая пропорциональность: $\frac{a}{b}$ постоянно; обратная пропорциональность: $a \cdot b$ постоянно.
4Пропорция $a:b = c:d \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ (произведение крайних $=$ произведению средних).
5В смеси чистое вещество $=$ масса $\cdot \frac{\text{концентрация}}{100}$ ; при движении $s = v \cdot t$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс