eg1-1.2· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Степенные выражения и свойства степени

Целые и рациональные показатели степени, свойства степени и стандартный вид числа.

Свойства степеней позволяют упрощать выражения с одинаковыми основаниями или одинаковыми показателями. При умножении показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $a^m : a^n = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ .

Отрицательный показатель даёт обратную величину: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , дробный показатель означает корень: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ .

📌Пример

Например, $2^5 \cdot 2^3 : 2^6 = 2^{5+3-6} = 2^2 = 4$ .

Ключевые термины

Степень — В выражении

a^n

число

a

— основание,

n

— показатель; это произведение

a

на себя

n

раз.

Отрицательный показатель —

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

— отрицательный показатель даёт обратную величину числа (

a \neq 0

Нулевая степень —

a^0 = 1

(

a \neq 0

) — для любого ненулевого основания результат равен

1

Рациональный (дробный) показатель —

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

— дробный показатель переходит в корень;

a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

Стандартный вид — Запись числа в виде

a \cdot 10^n

, где

1 \le a < 10

Степень степени —

(a^m)^n = a^{mn}

— при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Основные свойства степеней

Операция	Формула	Пример
Произведение степеней с одинаковым основанием	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$
Деление степеней с одинаковым основанием	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$3^5 : 3^3 = 3^2 = 9$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(2^3)^2 = 2^6 = 64$
Степень произведения	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	$(2 \cdot 3)^2 = 36$
Степень дроби	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$
Отрицательный показатель	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac{1}{8}$

Все свойства взяты из правил урока.

Дробный показатель и стандартный вид

Выражение	Преобразование	Значение
$9^{1/2}$	$\sqrt{9}$	$3$
$8^{1/3}$	$\sqrt[3]{8}$	$2$
$16^{3/4}$	$\sqrt[4]{16^3} = 2^3$	$8$
$0,00045$	стандартный вид	$4,5 \cdot 10^{-4}$

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ ; в стандартном виде $1 \le a < 10$ .

✎Вычислите

32^{2/5} \cdot 9^{1/2}

1Запишите основания в виде степени: $32 = 2^5$ и $9 = 3^2$ .
2Примените дробный показатель: $32^{2/5} = (2^5)^{2/5} = 2^{2} = 4$ и $9^{1/2} = (3^2)^{1/2} = 3$ .
3Найдите произведение: $4 \cdot 3 = 12$ .
4Ответ: $32^{2/5} \cdot 9^{1/2} = 12$ .

✎Если

3^x = 5

, найдите значение

3^{2x} + 3^{x+1}

1Раскройте первое слагаемое: $3^{2x} = (3^x)^2 = 5^2 = 25$ .
2Раскройте второе слагаемое: $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 5 \cdot 3 = 15$ .
3Сложите: $25 + 15 = 40$ .
4Ответ: $3^{2x} + 3^{x+1} = 40$ .

🚫Частая ошибка

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а не перемножаются: $x^7 \cdot x^3 = x^{10}$ , а не $x^{21}$ . Основание при этом не меняется.

⚠️Внимание

При отрицательном основании следите за знаком: чётный показатель даёт положительный результат, нечётный — отрицательный. $(-2)^4 = 16$ , но $(-3)^3 = -27$ .

🚫Частая ошибка

При возведении дроби в степень возводятся и числитель, и знаменатель: $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}$ , а не только один из них.

💡Заметка

В стандартном виде коэффициент должен удовлетворять условию $1 \le a < 10$ : запись $0,5 \cdot 10^4$ неверна — правильно написать $5 \cdot 10^3$ .

⚠️Внимание

В выражениях типа $(2^{n+3} - 2^n) : 2^n$ выносите общий множитель: $2^n(2^3 - 1) : 2^n = 8 - 1 = 7$ .

Правила

1 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $a^m : a^n = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$
2 $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
3 $a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ ), $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
4 $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ , $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
5Стандартный вид: $a \cdot 10^n$ , где $1 \le a < 10$

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс