eg1-5.4· Глава 5: Геометрия и измерения· ~14 мин

Векторы и координатная геометрия

Координаты вектора, длина, скалярное произведение, расстояние между точками и уравнение прямой.

В координатной плоскости точка задаётся парой (x;y)(x; y), а вектор — своими координатами: для A(x1;y1)A(x_1; y_1), B(x2;y2)B(x_2; y_2) вектор AB⃗\vec{AB} равен (x2−x1;y2−y1)(x_2 - x_1; y_2 - y_1). Длина вектора ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, расстояние между двумя точками d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Векторы складывают, вычитают и умножают на число покоординатно. Скалярное произведение a⃗⋅b⃗=axbx+ayby=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi; если два вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Середина отрезка — полусумма координат концов. Уравнение прямой с угловым коэффициентом kk, проходящей через (x0;y0)(x_0; y_0): y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0).

Пример: длина вектора a⃗(3;4)\vec{a}(3; 4) равна ∣a⃗∣=32+42=25=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Графики

Точки A(1; 2) и B(5; 6) на координатной плоскости; вектор AB и расстояние d
Точки A(1; 2) и B(5; 6) на координатной плоскости; вектор AB и расстояние d

Ключевые термины

Координаты вектора — Для A(x1;y1)A(x_1; y_1), B(x2;y2)B(x_2; y_2): AB⃗=(x2−x1;y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1); из конечной точки вычитается начальная.
Длина (модуль) вектора — ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}; координаты сначала возводятся в квадрат, затем извлекается корень. Всегда положительна.
Скалярное произведение — a⃗⋅b⃗=axbx+ayby=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi; сумма произведений соответствующих координат.
Условие перпендикулярности — a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0. Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Середина отрезка — M=(x1+x22;y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right); полусумма координат концов.
Угловой коэффициент прямой — В уравнении y=kx+by = kx + b коэффициент при xx равен kk; для двух точек k=ΔyΔx=y2−y1x2−x1k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Основные формулы координатной геометрии
ПонятиеФормула
Вектор AB⃗\vec{AB}(x2−x1;y2−y1)(x_2 - x_1; y_2 - y_1)
Длина ∣a⃗∣|\vec{a}|ax2+ay2\sqrt{a_x^2 + a_y^2}
Расстояние dd(x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Скалярное произведениеaxbx+aybya_x b_x + a_y b_y
Середина отрезка MM(x1+x22;y1+y22)\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
Уравнение прямойy−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)

Все формулы работают с координатами; для длины и расстояния — сначала квадрат, потом корень.

Взаимное расположение прямых
РасположениеУсловие на угловые коэффициенты
Параллельныеk1=k2k_1 = k_2
Перпендикулярныеk1⋅k2=−1k_1 \cdot k_2 = -1

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны; у перпендикулярных их произведение равно −1-1.

✎Нахождение неизвестного из условия перпендикулярности
  1. 1Условие: Векторы a⃗(2;k)\vec{a}(2; k) и b⃗(6;−4)\vec{b}(6; -4) перпендикулярны; найдите kk.
  2. 2Запишем условие перпендикулярности: a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0, то есть axbx+ayby=0a_x b_x + a_y b_y = 0.
  3. 3Подставим координаты: 2⋅6+k⋅(−4)=0⇒12−4k=02\cdot 6 + k\cdot(-4) = 0 \Rightarrow 12 - 4k = 0.
  4. 4Решим уравнение: 4k=12⇒k=124=34k = 12 \Rightarrow k = \frac{12}{4} = 3. Ответ: k=3k = 3.
✎Длина суммы векторов
  1. 1Условие: Для a⃗(3;4)\vec{a}(3; 4) и b⃗(4;−3)\vec{b}(4; -3) найдите ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}|.
  2. 2Сложим векторы: a⃗+b⃗=(3+4; 4+(−3))=(7;1)\vec{a} + \vec{b} = (3 + 4;\ 4 + (-3)) = (7; 1).
  3. 3Применим формулу длины: ∣a⃗+b⃗∣=72+12=49+1=50|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}.
  4. 4Упростим корень: 50=25⋅2=52\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}. Ответ: 525\sqrt{2}.
🚫Частая ошибка

При нахождении длины нельзя просто складывать координаты: ∣a⃗(3;4)∣=32+42=5|\vec{a}(3;4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, а не 3+4=73 + 4 = 7.

🚫Частая ошибка

В векторе AB⃗\vec{AB} из конечной точки вычитается начальная: AB⃗=(x2−x1;y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1). Если перепутать порядок, получится BA⃗\vec{BA}.

⚠️Внимание

Если скалярное произведение равно 00, векторы перпендикулярны и cos⁡φ=0\cos\varphi = 0; в этом случае cos⁡φ\cos\varphi не может равняться 11.

💡Заметка

Середина отрезка — полусумма координат; если известны один конец и середина, другой конец находится по формуле B=2M−AB = 2M - A.

💡Заметка

В уравнении y=kx+by = kx + b: kk — угловой коэффициент, bb — ордината точки пересечения с осью OyOy; не путайте их между собой.

Правила

  1. 1Вектор AB⃗=(x2−x1;y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1); длина ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}.
  2. 2Расстояние между двумя точками d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
  3. 3Скалярное произведение a⃗⋅b⃗=axbx+ayby\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y; a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.
  4. 4Середина отрезка M=(x1+x22;y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right).
  5. 5Уравнение прямой: y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0); у параллельных прямых kk одинаков, у перпендикулярных k1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс