eg1-5.3· Глава 5: Геометрия и измерения· ~14 мин

Многогранники и тела вращения

Объём и поверхность призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.

Объём прямой призмы $V = S\cdot h$ ( $S$ — площадь основания), объём пирамиды $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ .

Для тел вращения: цилиндр $V = \pi r^2 h$ и боковая поверхность $2\pi r h$ ; конус $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ и боковая поверхность $\pi r l$ ( $l$ — образующая); шар $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ и поверхность $S = 4\pi r^2$ . Важно не забывать коэффициент $\frac{1}{3}$ для конуса и пирамиды.

📌Пример

Например, объём прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания $3$ и $4$ и высотой $5$ равен $V = 3\cdot 4\cdot 5 = 60$ .

Ключевые термины

Прямая призма — Многогранник, у которого боковые рёбра перпендикулярны основанию; объём

V = S\cdot h

(

S

— площадь основания).

Пирамида — Многогранник с одним основанием и одной вершиной; объём

V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h

Цилиндр — Тело, полученное вращением прямоугольника;

V = \pi r^2 h

, боковая поверхность

2\pi r h

Конус — Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника;

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

, образующая

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Шар — Тело, образованное точками, равноудалёнными от центра;

V = \frac{4}{3}\pi r^3

, поверхность

S = 4\pi r^2

Образующая (

l

) — Отрезок, соединяющий вершину конуса с окружностью основания;

l^2 = r^2 + h^2

Формулы объёма и поверхности

Тело	Объём $V$	Поверхность
Прямоугольный параллелепипед	$a\cdot b\cdot c$	$2(ab+bc+ca)$
Прямая призма	$S\cdot h$	$2S + P\cdot h$
Пирамида	$\frac{1}{3}S\cdot h$	—
Цилиндр	$\pi r^2 h$	$2\pi r(r+h)$
Конус	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$	$\pi r(r+l)$
Шар	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$

$P$ — периметр основания, $l$ — образующая конуса.

Соотношения для подобных тел

Линейное отношение	Отношение поверхностей	Отношение объёмов
$k$	$k^2$	$k^3$
$1:2$	$1:4$	$1:8$
$2:3$	$4:9$	$8:27$

Если линейный размер увеличивается в $k$ раз, поверхность увеличивается в $k^2$ раз, объём — в $k^3$ раз.

✎Боковая поверхность конуса (сначала образующая)

1Дано: Радиус основания $r = 5$ , высота $h = 12$ .
2Найдём образующую: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .
3Формула боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13$ .
4Ответ: $S_{\text{бок}} = 65\pi$ .

✎Оставшийся объём после вырезания конуса из цилиндра

1Дано: Цилиндр и конус одинаковых размеров: $r = 5$ , $h = 5$ .
2Объём цилиндра: $V_{\text{цил}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi$ .
3Объём конуса: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\cdot 125\pi = \frac{125\pi}{3}$ .
4Оставшийся объём: $V = 125\pi - \frac{125\pi}{3} = \frac{375\pi - 125\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$ .

🚫Частая ошибка

Не забывай коэффициент $\frac{1}{3}$ для конуса и пирамиды. Например, написать $\pi r^2 h$ ( $=180\pi$ ) и забыть $\frac{1}{3}$ — типичная ошибка; правильный ответ $60\pi$ .

⚠️Внимание

Если дан диаметр, сначала найди $r = \frac{d}{2}$ . Подставлять диаметр напрямую в формулу поверхности шара ( $4\pi\cdot 10^2 = 400\pi$ ) — ошибка; при $r=5$ ответ равен $100\pi$ .

⚠️Внимание

При подсчёте полной поверхности цилиндра не забывай два основания: одной боковой поверхности $2\pi r h$ недостаточно, формула $2\pi r(r+h)$ .

💡Заметка

У подобных тел при изменении линейного размера в $k$ раз объём меняется в $k^3$ раз: если радиусы относятся как $1:2$ , то объёмы — как $1:8$ .

💡Заметка

В боковой поверхности конуса $l$ — образующая, а не высота: сначала найди $l = \sqrt{r^2+h^2}$ , затем применяй $\pi r l$ .

Правила

1Призма/параллелепипед: $V = S\cdot h$ ; прямоугольный параллелепипед $V = a\cdot b\cdot c$ .
2Пирамида: $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ .
3Цилиндр: $V = \pi r^2 h$ , боковая поверхность $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$ , полная поверхность $= 2\pi r(r+h)$ .
4Конус: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ , боковая поверхность $= \pi r l$ , $l^2 = r^2 + h^2$ .
5Шар: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , поверхность $S = 4\pi r^2$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс