eg1-3.5· Fəsil 3: Funksiyalar və analiz· ~15 dəq

İbtidai funksiya və inteqral

İbtidai funksiya, qeyri-müəyyən və müəyyən inteqral, Nyuton-Leybnis düsturu, sahə.

F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) olarsa, F(x)F(x) funksiyası f(x)f(x)-in ibtidai funksiyası adlanır. Bütün ibtidai funksiyalar F(x)+CF(x) + C şəklində fərqlənir; ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C qeyri-müəyyən inteqraldır.

Əsas düsturlar: ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n≠−1n\neq -1), ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C, ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C, ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C, ∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x + C.

Müəyyən inteqral Nyuton-Leybnis düsturu ilə hesablanır: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), burada FF — ff-in istənilən ibtidaisidir. Müsbət funksiya üçün ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx əyrinin [a,b][a,b] aralığında xx oxu ilə əhatə etdiyi əyrixətli trapesiyanın sahəsinə bərabərdir.

📌Nümunə

Məsələn, ∫03x2 dx=x33∣03=9\int_0^3 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3 = 9.

Əsas terminlər

İbtidai funksiya — F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) olan FF funksiyası; ff-in bütün ibtidailəri F(x)+CF(x)+C şəklindədir.
Qeyri-müəyyən inteqral — ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x)+C — bütün ibtidailərin ümumi ifadəsi.
Müəyyən inteqral — ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx — ədəd; Nyuton-Leybnis düsturu ilə F(b)−F(a)F(b)-F(a).
Nyuton-Leybnis düsturu — ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a), FF — ff-in ibtidaisi.
Əyrixətli trapesiya — Müsbət ff üçün ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx əyrinin xx oxu ilə [a,b][a,b]-də əhatə etdiyi sahədir.
Əsas ibtidai funksiyalar
f(x)f(x)∫f(x) dx\int f(x)\,dx
xn (n≠−1)x^n\ (n\neq-1)xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
1x\frac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\ln|x|+C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x+C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x+C
exe^xex+Ce^x+C
kk (sabit)kx+Ckx+C

İnteqral üssü 11 artırır — törəmənin əksinə.

✎Müəyyən inteqral: ∫13(2x+1) dx\int_1^3 (2x+1)\,dx
  1. 1İbtidaini tap: ∫(2x+1) dx=x2+x\int(2x+1)\,dx = x^2 + x (sabitsiz).
  2. 2Nyuton-Leybnis: (x2+x)∣13=(9+3)−(1+1)\left.(x^2+x)\right|_1^3 = (9+3)-(1+1).
  3. 3Hesabla: 12−2=1012 - 2 = 10.
✎Sahə: y=x2y=x^2, xx oxu, x=3x=3
  1. 1İnteqralı qur: Sahə =∫03x2 dx= \int_0^3 x^2\,dx.
  2. 2İbtidai: x33\frac{x^3}{3}; x33∣03=273\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3 = \frac{27}{3}.
  3. 3Cavab: Sahə =9= 9 kvadrat vahid.
🚫Tez-tez səhv

İnteqralda üs 11 artır və n+1n+1-ə bölünür: ∫x2 dx=x33+C\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C, 2x2x deyil (o, törəmədir).

⚠️Diqqət

Qeyri-müəyyən inteqralda +C+C-ni unutma; müəyyən inteqralda isə CC ixtisar olunur, ona görə yazılmır.

💡Qeyd

Nyuton-Leybnisdə həmişə F(b)−F(a)F(b)-F(a) ardıcıllığı: yuxarı sərhəddən aşağı sərhəd çıxılır.

💡Qeyd

İki əyri arasındakı sahə ∫ab(fyuxarı−fas¸ag˘ı) dx\int_a^b (f_{\text{yuxarı}}-f_{\text{aşağı}})\,dx; kəsişmə nöqtələri inteqralın sərhədləridir.

Qaydalar

  1. 1İbtidai funksiya: F′(x)=f(x)F'(x)=f(x); ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x)+C.
  2. 2Qüvvət qaydası: ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n≠−1n\neq -1); ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.
  3. 3∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx = -\cos x+C; ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\cos x\,dx = \sin x+C; ∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x+C.
  4. 4Nyuton-Leybnis: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  5. 5Sahə: müsbət ff üçün ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx əyrixətli trapesiyanın sahəsidir; iki əyri arasında ∫ab(fyuxarı−fas¸ag˘ı) dx\int_a^b (f_{\text{yuxarı}}-f_{\text{aşağı}})\,dx.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq