egp-1.3· Глава 1: Механика· ~14 мин

Законы сохранения

Импульс, работа, энергия, мощность и КПД — законы сохранения в механике

Импульс тела определяется как $p = m \cdot v$ и в замкнутой системе векторная сумма импульсов сохраняется. При абсолютно неупругом столкновении тела объединяются и движутся вместе, при упругом столкновении сохраняются как импульс, так и кинетическая энергия. Совершённая работа вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$ , кинетическая энергия — $E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$ , потенциальная энергия силы тяжести — $E_p = m \cdot g \cdot h$ , энергия пружины — $E_p = \frac{k \cdot x^2}{2}$ . При отсутствии трения механическая энергия ( $E_k + E_p$ ) сохраняется. Мощность находится как $N = \frac{A}{t} = F \cdot v$ , а КПД — как $\text{КПД} = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{полн}}} \cdot 100\%$ .

📌Пример

Например: если тело массой 2 кг движется со скоростью 5 м/с, его импульс $p = 2 \cdot 5 = 10$ кг·м/с, а кинетическая энергия $E_k = \frac{2 \cdot 5^2}{2} = 25$ Дж.

Ключевые термины

Импульс — Векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

p = m \cdot v

; единица — кг·м/с.

Закон сохранения импульса — В замкнутой системе векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2

Работа — Произведение силы, перемещения и косинуса угла между ними:

A = F \cdot s \cdot \cos\alpha

; единица — джоуль (Дж).

Кинетическая энергия — Энергия движущегося тела:

E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}

; скорость возводится в квадрат; единица — джоуль (Дж).

Потенциальная энергия — Для силы тяжести

E_p = m \cdot g \cdot h

, для деформированной пружины

E_p = \frac{k \cdot x^2}{2}

; единица — джоуль (Дж).

КПД (коэффициент полезного действия) — Отношение полезной работы к затраченной полной работе:

\text{КПД} = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{полн}}} \cdot 100\%

; всегда меньше 100%.

Законы сохранения — основные формулы

Величина	Обозначение	Формула	Единица
Импульс	$p$	$p = m \cdot v$	кг·м/с
Работа	$A$	$A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$	Дж
Кинетическая энергия	$E_k$	$E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$	Дж
Потенциальная энергия (сила тяжести)	$E_p$	$E_p = m \cdot g \cdot h$	Дж
Энергия пружины	$E_p$	$E_p = \frac{k \cdot x^2}{2}$	Дж
Мощность	$N$	$N = \frac{A}{t} = F \cdot v$	Вт

Формулы законов сохранения в механике и единицы СИ ( $g = 10$ m/s²).

Сравнение видов столкновений

Столкновение	Сохраняемая величина	Тела
Абсолютно неупругое	Только импульс	Объединяются и движутся вместе
Упругое	Импульс и кинетическая энергия	После столкновения разлетаются

При абсолютно неупругом столкновении часть кинетической энергии теряется; импульс сохраняется в обоих случаях.

✎Общая скорость при абсолютно неупругом столкновении

1Дано: $m_1 = 2$ кг, $v_1 = 6$ м/с; $m_2 = 4$ кг, $v_2 = 0$ (покоится); слипаются.
2Закон: Закон сохранения импульса: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) \cdot u$ .
3Подстановка: $2 \cdot 6 + 4 \cdot 0 = (2 + 4) \cdot u$ , то есть $12 = 6 \cdot u$ .
4Ответ: $u = \frac{12}{6} = 2$ м/с.

✎Полезная мощность насоса

1Дано: $m = 600$ кг, $h = 5$ м, $t = 1$ мин $= 60$ с, $g = 10$ м/с².
2Полезная работа: $A = m \cdot g \cdot h = 600 \cdot 10 \cdot 5 = 30000$ Дж.
3Формула мощности: $N = \frac{A}{t} = \frac{30000}{60}$ .
4Ответ: $N = 500$ Вт.

🚫Частая ошибка

В формуле кинетической энергии не забывайте возводить скорость в квадрат и делить на два: $E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$ , а не $m \cdot v$ . Например, для тела массой 4 кг и скоростью 10 м/с $E_k = 200$ Дж, а не 40 Дж.

⚠️Внимание

Не путайте единицы: импульс измеряется в кг·м/с, работа и энергия — в джоулях (Дж), мощность — в ваттах (Вт).

⚠️Внимание

Учитывайте угол в формуле работы: при $\alpha = 90^\circ$ $\cos\alpha = 0$ , то есть перпендикулярная сила работы не совершает ( $A = 0$ ).

💡Заметка

При отсутствии трения механическая энергия сохраняется: из равенства $m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2}$ скорость тела, падающего с высоты $h$ , равна $v = \sqrt{2gh}$ .

Правила

1Импульс: $p = m \cdot v$ ; закон сохранения: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ .
2Работа: $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$ ; мощность: $N = \frac{A}{t} = F \cdot v$ .
3Кинетическая энергия: $E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}$ ; потенциальная энергия: $E_p = m \cdot g \cdot h$ или $\frac{k \cdot x^2}{2}$ .
4Закон сохранения механической энергии (без трения): $E_k + E_p = \text{const}$ .
5 $\text{КПД} = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{полн}}} \cdot 100\%$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс