egp-1.4· Глава 1: Механика· ~14 мин

Статика и гидростатика

Момент силы, равновесие, давление, закон Паскаля и сила Архимеда

Статика изучает равновесие тел. Момент силы относительно оси вращения твёрдого тела вычисляется по формуле M=F⋅dM = F \cdot d, где dd — плечо момента, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. При равновесии тела сумма моментов, вращающих по часовой стрелке, равна сумме моментов в противоположном направлении (условие равновесия рычага). В гидростатике давление определяется как p=FSp = \frac{F}{S}; жидкость создаёт давление p=ρghp = \rho g h на глубине hh. По закону Паскаля в гидравлическом прессе сила, приложенная к малому поршню, передаётся большому поршню без изменения давления: F1S1=F2S2\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}. На тело, погружённое в жидкость, действует направленная вверх сила Архимеда: FA=ρ⋅g⋅VF_A = \rho \cdot g \cdot V, где VV — объём погружённой части тела. Пример: если левое плечо рычага 2 м, правое 0,50{,}5 м, а на левый конец действует сила 100 Н, то для равновесия на правый конец нужна сила F2=F1⋅d1d2=100⋅20,5=400F_2 = \frac{F_1 \cdot d_1}{d_2} = \frac{100 \cdot 2}{0{,}5} = 400 Н.

Ключевые термины

Момент силы — Вращательное действие силы относительно оси вращения: M=F⋅dM = F \cdot d, где dd — плечо момента. Единица — Н⋅м\text{Н}\cdot\text{м}.
Плечо момента — Кратчайшее (перпендикулярное) расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Давление — Отношение силы, перпендикулярной поверхности, к площади этой поверхности: p=FSp = \frac{F}{S}. Единица — Па.
Давление жидкости — Гидростатическое давление, создаваемое жидкостью на глубине hh: p=ρghp = \rho g h. Зависит от глубины.
Закон Паскаля — Внешнее давление, приложенное к замкнутой жидкости, передаётся без изменения во все точки. Является основой гидравлического пресса.
Сила Архимеда — Сила, действующая вверх на тело, погружённое в жидкость: FA=ρ⋅g⋅VF_A = \rho \cdot g \cdot V, где VV — объём погружённой части.
Основные формулы статики и гидростатики
ВеличинаФормулаЕдиница
Момент силыM=F⋅dM = F \cdot dН⋅м\text{Н}\cdot\text{м}
Равновесие рычагаF1⋅d1=F2⋅d2F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2—
Давлениеp=FSp = \frac{F}{S}Па
Давление жидкостиp=ρghp = \rho g hПа
Гидравлический прессF1S1=F2S2\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}—
Сила АрхимедаFA=ρ⋅g⋅VF_A = \rho \cdot g \cdot VН

Во всех расчётах принимается g=10 м/с2g = 10\ \text{м/с}^2.

Состояние тела в жидкости
СлучайУсловиеРезультат
ПлаваетFA=mgF_A = mgЧасть объёма погружена
ВзвешеноFA=mgF_A = mgПолностью погружено, в равновесии
ТонетFA<mgF_A < mgВес в воде =mg−FA= mg - F_A
Плавающее телоVпогрV=ρтелаρжидк\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{жидк}}}Доля погружённой части

Для плавающего тела доля погружённой части определяется отношением плотностей тела и жидкости.

✎Равновесие рычага: нахождение требуемой силы
  1. 1Данные: Левое плечо d1=1,2d_1 = 1{,}2 м, F1=50F_1 = 50 Н; правое плечо d2=0,3d_2 = 0{,}3 м, F2=?F_2 = ?
  2. 2Условие равновесия: F1⋅d1=F2⋅d2F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2, откуда F2=F1⋅d1d2F_2 = \frac{F_1 \cdot d_1}{d_2}.
  3. 3Подставляем: F2=50⋅1,20,3=600,3F_2 = \frac{50 \cdot 1{,}2}{0{,}3} = \frac{60}{0{,}3}.
  4. 4Результат: F2=200F_2 = 200 Н.
✎Масса плавающего куба
  1. 1Данные: Сторона куба a=0,2a = 0{,}2 м, половина погружена в воду; ρводы=1000 кг/м3\rho_{\text{воды}} = 1000\ \text{кг/м}^3, g=10 м/с2g = 10\ \text{м/с}^2.
  2. 2Полный объём: V=a3=0,23=0,008 м3V = a^3 = 0{,}2^3 = 0{,}008\ \text{м}^3.
  3. 3Погружённый объём: Vпогр=0,0082=0,004 м3V_{\text{погр}} = \frac{0{,}008}{2} = 0{,}004\ \text{м}^3.
  4. 4Сила Архимеда: FA=ρ⋅g⋅Vпогр=1000⋅10⋅0,004=40F_A = \rho \cdot g \cdot V_{\text{погр}} = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}004 = 40 Н.
  5. 5Масса (условие плавания FA=mgF_A = mg): m=FAg=4010=4m = \frac{F_A}{g} = \frac{40}{10} = 4 кг.
🚫Частая ошибка

В формулах момента и давления путают умножение и деление: M=F⋅dM = F \cdot d и F=p⋅SF = p \cdot S находятся умножением, а не делением. Например 80⋅0,25=20 Н⋅м80 \cdot 0{,}25 = 20\ \text{Н}\cdot\text{м}, но не 80/0,2580 / 0{,}25.

⚠️Внимание

Внимание на десятичную запятую: 2500⋅0,4=10002500 \cdot 0{,}4 = 1000 (не 100), 80⋅0,25=2080 \cdot 0{,}25 = 20 (не 2). Ошибка на порядок — типичная ловушка в расчётах.

⚠️Внимание

Если в гидравлическом прессе задано отношение радиусов, то отношение площадей равно его квадрату: если радиус больше в 4 раза, то площадь больше в 42=164^2 = 16 раз.

💡Заметка

В формуле силы Архимеда берётся только объём погружённой части. У полностью погружённого тела Vпогр=VV_{\text{погр}} = V, у плавающего — Vпогр<VV_{\text{погр}} < V.

💡Заметка

Давление жидкости p=ρghp = \rho g h зависит только от глубины, но не от ширины или формы сосуда; в сообщающихся сосудах уровни одинаковой жидкости выравниваются.

Правила

  1. 1Момент силы: M=F⋅dM = F \cdot d (единица Н⋅м\text{Н}\cdot\text{м}, dd — плечо момента).
  2. 2Условие равновесия рычага: F1⋅d1=F2⋅d2F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2.
  3. 3Давление: p=FSp = \frac{F}{S} (единица Па); давление жидкости: p=ρghp = \rho g h.
  4. 4Закон Паскаля (гидравлический пресс): F1S1=F2S2\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}.
  5. 5Сила Архимеда: FA=ρ⋅g⋅VF_A = \rho \cdot g \cdot V; условие плавания FA=mgF_A = mg (ρжидк⋅Vпогр=ρтела⋅V\rho_{\text{жидк}} \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{тела}} \cdot V).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс