В какую сторону направлено центростремительное ускорение при равномерном движении по окружности?

К центру окружности

В направлении вектора скорости

От центра окружности

Какая сила удерживает искусственный спутник на круговой орбите?

Сила тяготения (гравитация)

Что остаётся постоянным при равномерном движении по окружности?

Направление скорости

Направление вектора ускорения

egp-1.5· Глава 1: Механика· ~13 мин

Равномерное движение по окружности и гравитация

Равномерное движение по окружности, центростремительное ускорение, искусственные спутники и законы Кеплера

При равномерном движении по окружности модуль скорости тела остаётся постоянным, однако направление непрерывно меняется, поэтому тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру: $a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$ . Период обращения $T$ — это время одного полного оборота, частота — $\nu = \frac{1}{T}$ ; линейная скорость $v = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$ , угловая скорость $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$ . Центростремительная сила, удерживающая тело на окружности: $F = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r$ . Для искусственного спутника, обращающегося вокруг планеты, эту роль выполняет сила тяготения: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ , откуда первая космическая скорость $v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx 7{,}9$ км/с. По третьему закону Кеплера квадраты периодов спутников пропорциональны кубам радиусов их орбит: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$ .

📌Пример

Например: центростремительное ускорение тела, движущегося со скоростью $v = 4$ м/с по окружности радиусом $r = 2$ м, равно $a = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\ \text{m/s}^2$ .

Ключевые термины

Центростремительное ускорение — Ускорение при движении по окружности, направленное к центру:

a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r

Период обращения (T) — Время, за которое тело совершает один полный оборот; единица измерения — секунда (с).

Частота (ν) — Число оборотов в единицу времени, обратная величина периода:

\nu = \frac{1}{T}

; единица — Гц.

Угловая скорость (ω) — Угол, поворачиваемый в единицу времени:

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu

; единица — рад/с.

Центростремительная сила — Сила, удерживающая тело на окружности и направленная к центру:

F = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r

Первая космическая скорость — Скорость, необходимая для движения искусственного спутника по круговой орбите:

v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx 7{,}9

км/с.

Основные формулы равномерного движения по окружности

Величина	Обозначение	Формула	Единица
Центростремительное ускорение	$a$	$a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$	$\text{m/s}^2$
Линейная скорость	$v$	$v = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$	m/s
Угловая скорость	$\omega$	$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$	рад/с
Частота	$\nu$	$\nu = \frac{1}{T}$	Гц
Центростремительная сила	$F$	$F = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r$	N
Первая космическая скорость	$v$	$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$	m/s

Основные соотношения для равномерного движения по окружности и орбитального движения.

Сравнение линейных и угловых характеристик

Характеристика	Угловая скорость $\omega$	Линейная скорость $v$
Зависимость от радиуса	Не зависит	Растёт с радиусом ( $v = \omega r$ )
В точках диска	Одинакова для всех точек	Больше на краю
Формула	$\omega = \frac{2\pi}{T}$	$v = \frac{2\pi r}{T}$
Единица	рад/с	m/s

У всех точек равномерно вращающегося диска $\omega$ одинакова, а $v$ меняется с $r$ .

✎Центростремительное ускорение при известном периоде

1Дано: $r = 2$ м, $T = 4$ с, $\pi^2 \approx 9{,}86$ . Найти: $a$ .
2Формула: Так как $v = \frac{2\pi r}{T}$ , то $a = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$ .
3Подстановка: $a = \frac{4 \cdot 9{,}86 \cdot 2}{4^2} = \frac{78{,}88}{16}$ .
4Ответ: $a = 4{,}93\ \text{m/s}^2$ .

✎Максимальная скорость при заданном пределе натяжения нити

1Дано: $m = 0{,}5$ кг, $r = 1$ м, $F_{\text{max}} = 50$ N. Найти: $v_{\text{max}}$ .
2Формула: Нить обеспечивает центростремительную силу: $F = \frac{m v^2}{r}$ , откуда $v = \sqrt{\frac{Fr}{m}}$ .
3Подстановка: $v = \sqrt{\frac{50 \cdot 1}{0{,}5}} = \sqrt{100}$ .
4Ответ: $v_{\text{max}} = 10$ м/с.

🚫Частая ошибка

В формуле $a = \frac{v^2}{r}$ скорость возводится в квадрат; вычислять $v/r$ (например, $4/2 = 2$ ) или просто $v^2$ (16) — ошибка. Правильно: $a = \frac{16}{2} = 8\ \text{m/s}^2$ .

⚠️Внимание

Если задано число оборотов в минуту, сначала переведи в частоту: $\nu = \text{об}/60$ . Например, 120 об/мин $\rightarrow$ $\nu = 2$ Гц, затем $\omega = 2\pi\nu = 12{,}56$ рад/с.

⚠️Внимание

При движении по вертикальной окружности натяжение нити зависит от положения: в нижней точке $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ , в верхней $T = \frac{mv^2}{r} - mg$ . Не путай знаки.

💡Заметка

Центростремительное ускорение всегда направлено к центру; скорость направлена по касательной к окружности. При равномерном движении постоянен только модуль скорости.

💡Заметка

Орбитальная скорость $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ убывает с увеличением радиуса ( $v \sim \frac{1}{\sqrt{r}}$ ), а третий закон Кеплера даёт $T^2 \sim r^3$ .

Правила

1Центростремительное ускорение: $a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$ (направлено к центру).
2Линейная и угловая скорости: $v = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$ , $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$ .
3Центростремительная сила: $F = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r$ .
4Первая космическая скорость: $v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx 7{,}9$ км/с ( $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$ ).
5Третий закон Кеплера: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс