egp-2.1· Глава 2: Молекулярная физика и термодинамика· ~14 мин

МКТ и законы идеального газа

Молекулярно-кинетическая теория, уравнение Менделеева–Клапейрона и изопроцессы

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) исходит из того, что вещество состоит из молекул, находящихся в непрерывном движении и взаимодействующих между собой. Количество вещества находится по формуле ν=m/M=N/Na\nu = m/M = N/N_a, где MM — молярная масса, Na=61023N_a = 6 \cdot 10^{23} 1/моль — число Авогадро. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева–Клапейрона: pV=νRTpV = \nu RT, где R=8,31R = 8{,}31 Дж/(моль·К), а температура всегда берётся в кельвинах (T=t+273T = t + 273). В изопроцессах один из параметров состояния газа остаётся постоянным: изотермический (T=constT = \text{const}, pV=constpV = \text{const} — Бойль–Мариотт), изобарный (p=constp = \text{const}, V/T=constV/T = \text{const} — Гей-Люссак), изохорный (V=constV = \text{const}, p/T=constp/T = \text{const} — Шарль). Пример: при T=300T = 300 К для ν=2\nu = 2 моль идеального газа, занимающего объём V=0,02V = 0{,}02 м³, p=νRT/V=28,31300/0,02=249300p = \nu RT/V = 2 \cdot 8{,}31 \cdot 300/0{,}02 = 249300 Па 2,49105\approx 2{,}49 \cdot 10^5 Па. Объединённый закон газов: p1V1/T1=p2V2/T2p_1 V_1 / T_1 = p_2 V_2 / T_2.

Ключевые термины

Количество вещества (ν\nu)Величина, выражающая число структурных частиц в молях: ν=m/M=N/Na\nu = m/M = N/N_a.
Число Авогадро (NaN_a)Число молекул в одном моле вещества; Na=61023N_a = 6 \cdot 10^{23} 1/моль.
Универсальная газовая постоянная (RR)Постоянная в уравнении Менделеева–Клапейрона; R=8,31R = 8{,}31 Дж/(моль·К).
Постоянная Больцмана (kk)Постоянная, связывающая среднюю кинетическую энергию с температурой; k=1,381023k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} Дж/К.
Абсолютная температура (TT)Температура по шкале Кельвина; T=t+273T = t + 273, не может быть отрицательной.
Концентрация (nn)Число молекул в единице объёма (1/м³); участвует в уравнении p=nkTp = nkT.
Формулы МКТ и идеального газа
ВеличинаФормулаЕдиница
Количество веществаν=m/M=N/Na\nu = m/M = N/N_aмоль
Уравнение состоянияpV=νRTpV = \nu RTПа·м³
Абсолютная температураT=t+273T = t + 273К
Давление (через концентрацию)p=nkTp = nkTПа
Основное уравнение МКТp=13m0nvˉ2p = \frac{1}{3} m_0 n \bar{v}^2Па
Средняя кинетическая энергияEˉ=32kT\bar{E} = \frac{3}{2} kTДж

R=8,31R = 8{,}31 Дж/(моль·К), k=1,381023k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} Дж/К, Na=61023N_a = 6 \cdot 10^{23} 1/моль.

Изопроцессы (для данной массы газа)
ПроцессПостоянная величинаЗаконАвтор
ИзотермическийT=constT = \text{const}pV=constpV = \text{const}Бойль–Мариотт
Изобарныйp=constp = \text{const}V/T=constV/T = \text{const}Гей-Люссак
ИзохорныйV=constV = \text{const}p/T=constp/T = \text{const}Шарль

Объединённый закон газов: p1V1T1=p2V2T2\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}.

Нахождение давления в закрытом сосуде (pV=νRTpV = \nu RT)
  1. 1Дано: ν=2\nu = 2 моль, T=300T = 300 К, V=0,02V = 0{,}02 м³, R=8,31R = 8{,}31 Дж/(моль·К).
  2. 2Формула: Из уравнения pV=νRTpV = \nu RT выражаем p=νRT/Vp = \nu RT/V.
  3. 3Вычисление: p=28,31300/0,02=4986/0,02p = 2 \cdot 8{,}31 \cdot 300 / 0{,}02 = 4986/0{,}02.
  4. 4Результат: p=249300p = 249300 Па 2,49105\approx 2{,}49 \cdot 10^5 Па.
Конечное давление по объединённому закону газов
  1. 1Дано: p1=100000p_1 = 100000 Па, V1=0,6V_1 = 0{,}6 м³, T1=300T_1 = 300 К; V2=0,4V_2 = 0{,}4 м³, T2=400T_2 = 400 К.
  2. 2Формула: p1V1T1=p2V2T2\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}, откуда p2=p1V1T2T1V2p_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2}.
  3. 3Вычисление: p2=1000000,6400/(3000,4)=24000000/120p_2 = 100000 \cdot 0{,}6 \cdot 400 / (300 \cdot 0{,}4) = 24000000/120.
  4. 4Результат: p2=200000p_2 = 200000 Па.
⚠️Внимание

Всегда переводи температуру в кельвины: T=t+273T = t + 273. Например, 73 C200-73\ ^\circ\text{C} \rightarrow 200 К, 27 C30027\ ^\circ\text{C} \rightarrow 300 К.

🚫Частая ошибка

Не применяй формулу количества вещества в обратном порядке: ν=m/M\nu = m/M, то есть 88/44=288/44 = 2 моль, а не M/m=0,5M/m = 0{,}5.

🚫Частая ошибка

8,318{,}31 — универсальная газовая постоянная RR; не путай её с постоянной Больцмана k=1,381023k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} Дж/К.

💡Заметка

В изобарном процессе объём прямо пропорционален самой температуре (VTV \sim T), а не её квадрату.

💡Заметка

Среднеквадратичная скорость vˉT\bar{v} \sim \sqrt{T}: если температура увеличится в 4 раза, скорость возрастёт лишь в 2 раза.

Правила

  1. 1Количество вещества: ν=m/M=N/Na\nu = m/M = N/N_a (Na=61023N_a = 6 \cdot 10^{23} 1/моль).
  2. 2Уравнение Менделеева–Клапейрона: pV=νRTpV = \nu RT (R=8,31R = 8{,}31 Дж/(моль·К), T=t+273T = t + 273).
  3. 3Объединённый закон газов: p1V1T1=p2V2T2\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}.
  4. 4Изопроцессы: изотермический pV=constpV = \text{const}, изобарный V/T=constV/T = \text{const}, изохорный p/T=constp/T = \text{const}.
  5. 5Основное уравнение МКТ: p=13m0nvˉ2=23nEˉp = \frac{1}{3} m_0 n \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n \bar{E}; средняя кинетическая энергия Eˉ=32kT\bar{E} = \frac{3}{2} kT.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов