g11m-1.1· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Проценты, отношения и пропорции

Вычисление процентов, увеличение/уменьшение, простые и сложные проценты, прямая/обратная пропорциональность, текстовые задачи.

$p$ процентов числа $a$ — это $\frac{p}{100}$ часть этого числа: $p\%$ от $a$ $= \frac{a \cdot p}{100}$ . При увеличении на $p\%$ новое значение равно $a \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$ , при уменьшении — $a \cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)$ .

При простых процентах каждый год прибавляется одна и та же сумма: $S = P \cdot \left(1+\frac{n \cdot r}{100}\right)$ ; при сложных процентах проценты присоединяются к основной сумме и нарастают: $S = P \cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n$ .

Если две величины прямо пропорциональны, их отношение постоянно ( $\frac{a}{b}=k$ ); если обратно пропорциональны — постоянно их произведение ( $a \cdot b=k$ ).

📌Пример

Например: $15\%$ от $200$ манатов $= \frac{200 \cdot 15}{100} = 30$ манатов; после увеличения на $15\%$ сумма составит $200 \cdot 1{,}15 = 230$ манатов.

Ключевые термины

Процент — Одна сотая часть числа.

p\%

от

a

= \frac{a \cdot p}{100}

Увеличение на процент — После увеличения на

p\%

новое значение равно

a \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)

Уменьшение на процент — После уменьшения (скидки) на

p\%

цена равна

a \cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)

Простые проценты — Каждый год прибавляется одна и та же сумма:

S = P \cdot \left(1+\frac{n \cdot r}{100}\right)

Сложные проценты — Проценты присоединяются к основной сумме и нарастают:

S = P \cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n

Прямая и обратная пропорциональность — При прямой пропорциональности отношение постоянно

\frac{a}{b}=k

; при обратной — постоянно произведение

a \cdot b=k

Формулы процентов и отношений

Понятие	Формула
$p$ процентов от $a$	$\frac{a \cdot p}{100}$
Сколько процентов $a$ от $b$	$\frac{a}{b} \cdot 100\%$
Увеличение на $p\%$	$a \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$
Уменьшение на $p\%$	$a \cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)$
Простые проценты	$P \cdot \left(1+\frac{n \cdot r}{100}\right)$
Сложные проценты	$P \cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n$

Основные формулы для вычисления процентов.

Перевод дроби, десятичного числа и процента

Дробь	Десятичная	Процент
$\frac{1}{4}$	$0{,}25$	$25\%$
$\frac{2}{5}$	$0{,}4$	$40\%$
$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	$50\%$
$\frac{3}{5}$	$0{,}6$	$60\%$
$\frac{3}{4}$	$0{,}75$	$75\%$

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, умножаем на $100$ .

✎Два последовательных изменения в процентах (сначала увеличение, затем уменьшение)

1Условие: Цена сначала увеличилась на $20\%$ , затем новая цена уменьшилась на $20\%$ . Как изменилась цена по сравнению с исходной?
2Составим коэффициенты: Пусть исходная цена равна $a$ . Коэффициент увеличения $1+\frac{20}{100}=1{,}2$ , коэффициент уменьшения $1-\frac{20}{100}=0{,}8$ .
3Перемножим коэффициенты: Конечная цена $= a \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = a \cdot 0{,}96$ .
4Результат: $0{,}96a$ меньше исходного на $0{,}04a$ , то есть цена уменьшилась на $4\%$ .

✎Смешивание двух растворов

1Условие: Смешали $300$ г раствора кислоты концентрацией $40\%$ и $200$ г раствора кислоты концентрацией $70\%$ . Какова концентрация полученной смеси?
2Найдём чистую кислоту: В первом растворе $300 \cdot \frac{40}{100}=120$ г, во втором $200 \cdot \frac{70}{100}=140$ г чистой кислоты.
3Сложим: Всего чистой кислоты $120+140=260$ г; общая масса смеси $300+200=500$ г.
4Вычислим концентрацию: Концентрация $=\frac{260}{500} \cdot 100\% = 52\%$ .

🚫Частая ошибка

Не воспринимай увеличение на процент как простое прибавление маленького числа: $25\%$ от $120$ — это не $5$ , а $120 \cdot \frac{25}{100}=30$ , поэтому сумма равна $150$ .

⚠️Внимание

Изменение в процентах считай относительно исходной цены, а не новой: скидка с $250$ до $200$ — это $\frac{50}{250} \cdot 100=20\%$ , а не $\frac{50}{200}=25\%$ .

⚠️Внимание

Два последовательных процентных изменения не складываются: для уменьшения на $25\%$ и затем увеличения на $60\%$ коэффициенты перемножаются: $0{,}75 \cdot 1{,}6=1{,}2$ , то есть увеличение на $20\%$ .

💡Заметка

В пропорции применяй перемножение крест-накрест: для $x:5=6:15$ получаем $15x=30$ , значит $x=2$ .

💡Заметка

Чтобы перевести км/ч в м/с, умножь на $\frac{1000}{3600}=\frac{5}{18}$ : $54 \cdot \frac{5}{18}=15$ м/с.

Правила

1 $p$ процентов числа $a$ : $\frac{a \cdot p}{100}$ .
2Увеличение на $p\%$ : $a \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$ ; уменьшение на $p\%$ : $a \cdot \left(1-\frac{p}{100}\right)$ .
3Сложные проценты: $S = P \cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)^n$ ; простые проценты: $S = P \cdot \left(1+\frac{n \cdot r}{100}\right)$ .
4Прямая пропорциональность: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$ ; обратная пропорциональность: $a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$ .
5В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних (перемножение крест-накрест).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс