g11m-1.2· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Степенные и логарифмические выражения

Свойства степени, корни, определение и свойства логарифма, упрощение.

В степенных выражениях действуют свойства степени: $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ , $a^m:a^n=a^{m-n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ , $a^0=1$ ( $a \ne 0$ ), $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ .

Логарифм — это обратная операция к возведению в степень: $\log_a b=c \iff a^c=b$ ( $a>0$ , $a \ne 1$ , $b>0$ ). Например: $\log_2 8=3$ , так как $2^3=8$ .

Свойства логарифма: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ , $\log_a b^n=n \cdot \log_a b$ , формула перехода к новому основанию $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ . Десятичный логарифм $\lg=\log_{10}$ , натуральный логарифм $\ln=\log_e$ .

📌Пример

Например: $\log_2 24-\log_2 3=\log_2\frac{24}{3}=\log_2 8=3$ .

Ключевые термины

Степень (показатель) — В выражении

a^n

a

— основание,

n

— показатель степени; означает умножение

a

на себя

n

раз.

Отрицательный показатель —

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

— отрицательный показатель не меняет знак, а даёт обратную величину числа.

Дробный показатель —

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

— дробный показатель означает корень;

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

Логарифм —

\log_a b=c \iff a^c=b

(

a>0

a \ne 1

b>0

); это ответ на вопрос: в какую степень нужно возвести

a

, чтобы получить

b

Десятичный и натуральный логарифм —

\lg=\log_{10}

— десятичный логарифм,

\ln=\log_e

— натуральный логарифм.

Переход к новому основанию —

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

— позволяет перейти к любому новому основанию

c

Основные формулы степеней и логарифмов

Правило	Формула
Произведение степеней	$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$
Частное степеней	$a^m:a^n=a^{m-n}$
Степень степени	$(a^m)^n=a^{mn}$
Нулевой и отрицательный показатель	$a^0=1$ , $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Дробный показатель (корень)	$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$
Логарифм произведения/частного	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
Логарифм степени	$\log_a b^n=n \cdot \log_a b$

Степенные и логарифмические правила, применяемые при упрощении.

Частные значения логарифма

Выражение	Значение	Причина
$\log_a 1$	$0$	$a^0=1$
$\log_a a$	$1$	$a^1=a$
$\log_a a^n$	$n$	$a^n=a^n$
$a^{\log_a b}$	$b$	логарифм — обратная операция к степени

Эти значения позволяют быстро решить многие задачи.

✎Вычислите

25^{1/2} \cdot 8^{1/3}

1Переведи дробный показатель в корень: $25^{1/2}=\sqrt{25}$ и $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}$ .
2Вычисли каждый корень: $\sqrt{25}=5$ , так как $5^2=25$ ; $\sqrt[3]{8}=2$ , так как $2^3=8$ .
3Перемножь: $5 \cdot 2=10$ .
4Ответ: $25^{1/2} \cdot 8^{1/3}=10$ .

✎Вычислите

\log_2 24 - \log_2 3

1Применяй правило частного: $\log_2 24-\log_2 3=\log_2\frac{24}{3}$ , так как вычитание логарифмов даёт логарифм частного.
2Упрости дробь под знаком логарифма: $\frac{24}{3}=8$ , значит выражение принимает вид $\log_2 8$ .
3Вычисли логарифм: $\log_2 8=3$ , так как $2^3=8$ .
4Ответ: $\log_2 24-\log_2 3=3$ .

🚫Частая ошибка

При вычитании логарифмов получается не разность, а частное: $\log_3 15-\log_3 5=\log_3\frac{15}{5}=\log_3 3=1$ , а не $15-5=10$ .

🚫Частая ошибка

При сложении логарифмов получается не сумма, а произведение: $\log_8 2+\log_8 4=\log_8(2 \cdot 4)=\log_8 8=1$ , а не $2+4=6$ .

⚠️Внимание

Отрицательный показатель не меняет знак, а даёт обратную величину: $10^{-2}=\frac{1}{100}$ , а не $-100$ .

⚠️Внимание

В составном логарифме сначала вычисляется внутренний, затем внешний: $\log_2(\log_3 81)=\log_2 4=2$ , нельзя останавливаться на внутреннем значении $4$ .

💡Заметка

Тождество $a^{\log_a b}=b$ — это кратчайший путь: $3^{\log_3 7}=7$ ; когда основание отличается, сначала выравни показатель, например $4^{\log_2 5}=2^{2\log_2 5}=25$ .

Правила

1Свойства степени: $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ , $a^m:a^n=a^{m-n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ , $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ .
2Определение логарифма: $\log_a b=c \iff a^c=b$ , где $a>0$ , $a \ne 1$ , $b>0$ .
3 $\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$ , $\log_a a^n=n$ , $a^{\log_a b}=b$ .
4Произведение/частное: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ ; степень: $\log_a b^n=n \cdot \log_a b$ .
5Переход к новому основанию: $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ ; частный случай $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс