g11m-5.4· Глава 5: Геометрия, измерения и статистика· ~20 мин

Статистика, теория вероятностей и комбинаторика

Среднее арифметическое, медиана, мода, размах; классическая вероятность; перестановки и сочетания.

В статистике для характеристики набора данных используются основные величины: среднее арифметическое (сумма всех чисел, делённая на их количество), медиана (значение элемента, стоящего в середине упорядоченного по возрастанию ряда; при чётном количестве — среднее арифметическое двух средних элементов), мода (наиболее часто встречающееся значение) и размах (разность наибольшего и наименьшего значений).

В классической теории вероятностей вероятность случайного события вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$ , где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$ , $n$ — общее число равновозможных исходов. Вероятность всегда находится в промежутке от $0$ до $1$ .

В комбинаторике число перестановок $n$ различных элементов равно $n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n$ , а число сочетаний (комбинаций) из $n$ элементов по $k$ определяется формулой $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ .

Пример: для чисел $4; 8; 6; 8; 9$ среднее $= \frac{4+8+6+8+9}{5} = 7$ ; упорядоченный ряд $4; 6; 8; 8; 9$ , медиана $= 8$ , мода $= 8$ , размах $= 9-4 = 5$ .

Ключевые термины

Среднее арифметическое — Величина, получаемая делением суммы всех значений на их количество.

Медиана — Значение среднего элемента ряда, упорядоченного по возрастанию; при чётном количестве — среднее арифметическое двух средних элементов.

Мода — Наиболее часто встречающееся значение в наборе данных; обязательно является одним из заданных значений.

Размах — Разность между наибольшим и наименьшим значениями.

Классическая вероятность —

P(A)=\frac{m}{n}

; где

m

— число благоприятных исходов,

n

— общее число равновозможных исходов. Всегда

0\le P\le 1

Перестановки и сочетания — Перестановки

n

элементов:

P_n=n!

; сочетания из

n

по

k

C(n,k)=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}

Статистические величины и формулы

Величина	Способ нахождения
Среднее арифметическое	сумма $\div$ количество
Медиана	упорядочить; средний элемент (нечётное) или среднее двух средних (чётное)
Мода	наиболее часто встречающееся значение
Размах	наибольшее $-$ наименьшее
Классическая вероятность	$P=\frac{m}{n}$ , $\ 0\le P\le 1$

Основные характеристики набора данных и формула вероятности.

Комбинаторика: важен ли порядок?

Случай	Формула	Пример
Расставить все $n$ элементов по порядку	$P_n=n!$	$5$ книг: $5!=120$
Выбрать $k$ из $n$ (порядок не важен)	$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$	из $6$ выбрать $2$ : $\binom{6}{2}=15$
Свойство симметрии	$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$	$\binom{12}{10}=\binom{12}{2}=66$

Если порядок выбора важен — перестановки; если нет — сочетания.

✎Вероятность того, что оба шара белые (через сочетания)

1Общее число исходов: В ящике $5$ белых $+ 3$ чёрных $= 8$ шаров; выбрать $2$ : $n=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$ .
2Число благоприятных исходов: Оба белые: $m=\binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ .
3Вычислить вероятность: $P=\frac{m}{n}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$ .
4Ответ: Вероятность того, что оба шара белые, равна $\frac{5}{14}$ .

✎Выбрать двух мальчиков и двух девочек (команда)

1Выбрать мальчиков: Из $5$ мальчиков выбрать $2$ : $\binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ .
2Выбрать девочек: Из $4$ девочек выбрать $2$ : $\binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6$ .
3Правило произведения: Независимые выборы перемножаются: $10\cdot 6=60$ .
4Ответ: Команду можно составить $60$ различными способами.

🚫Частая ошибка

Находя среднее, не останавливайся на сумме: для $2;4;4;6;9$ ответ не $25$ , нужно разделить сумму на количество: $\frac{25}{5}=5$ .

⚠️Внимание

При чётном количестве чисел медиана — это не одно среднее значение, а среднее арифметическое двух средних: для $3;5;7;8;9;12$ медиана $= \frac{7+8}{2}=7{,}5$ .

🚫Частая ошибка

В сочетаниях порядок не важен: выбирая $2$ из $6$ человек, бери не $6\cdot 5=30$ , а $\binom{6}{2}=15$ (с делением на $2$ ).

💡Заметка

Используй симметрию: $\binom{12}{10}=\binom{12}{2}=66$ — считай через меньшее $n-k$ вместо большого $k$ .

⚠️Внимание

В задачах типа «хотя бы один…» или «ни одного…» применяй вероятность противоположного события: $P=1-P(\text{противоп.})$ (например, $1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$ ).

Правила

1Среднее арифметическое: раздели сумму всех значений на их количество.
2Медиана: упорядочь числа по возрастанию; при нечётном количестве — средний элемент, при чётном — среднее арифметическое двух средних.
3Мода: наиболее часто встречающееся значение. Размах = наибольшее $-$ наименьшее.
4Классическая вероятность: $P(A) = \frac{m}{n} =$ число благоприятных исходов / общее число исходов. $0 \le P \le 1$ .
5Комбинаторика: перестановки $P_n = n!$ ; сочетания $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс