g11m-5.3· Глава 5: Геометрия, измерения и статистика· ~20 мин

Стереометрия: объём и поверхность

Объём и поверхность призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.

Объём и поверхность пространственных фигур вычисляются по основным формулам. Объём прямой призмы и параллелепипеда: $V = S\cdot h$ (площадь основания умножить на высоту), объём прямоугольного параллелепипеда: $V = a\cdot b\cdot c$ . Объём пирамиды в три раза меньше, чем у призмы: $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ .

Объём цилиндра: $V = \pi r^2 h$ , боковая поверхность: $S_{бок} = 2\pi r h$ , полная поверхность: $S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$ . Объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ , боковая поверхность: $S_{бок} = \pi r l$ ( $l$ — образующая), полная поверхность: $S_{полн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$ .

Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , поверхность: $S = 4\pi r^2$ . Внимание: радиус $r$ и диаметр $d = 2r$ нельзя путать; для пирамиды и конуса нельзя забывать коэффициент $\frac{1}{3}$ ; различайте, что спрашивается — объём или поверхность. Ответы с $\pi$ сохраняются в точной символической форме (например $36\pi$ ), а не в виде приближения.

Ключевые термины

Объём

V

— Мера пространства, занимаемого фигурой; единица —

\text{см}^3

. Призма/цилиндр: площадь основания умножить на высоту.

Полная поверхность

S_{полн}

— Сумма площадей всех граней фигуры; единица —

\text{см}^2

Образующая

l

— Боковое ребро конуса; связь с радиусом основания

r

и высотой

h

l^2 = r^2 + h^2

Высота

h

— Перпендикулярное расстояние от основания до вершины; в формулах объёма умножается на площадь основания.

Радиус

r

и диаметр

d

— Расстояние от центра окружности/шара до её точки:

r

; диаметр

d = 2r

, то есть

r = \frac{d}{2}

— не путайте.

Правильная треугольная призма — Прямая призма с правильным треугольником в основании; при стороне

a

площадь основания равна

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Формулы объёма и поверхности

Фигура	Объём $V$	Поверхность
Прямоугольный параллелепипед	$a\cdot b\cdot c$	$S_{полн} = 2(ab + bc + ca)$
Куб (ребро $a$ )	$a^3$	$S_{полн} = 6a^2$
Прямая призма	$S\cdot h$	—
Пирамида	$\frac{1}{3}\cdot S\cdot h$	—
Цилиндр	$\pi r^2 h$	$S_{бок} = 2\pi r h,\ S_{полн} = 2\pi r(h+r)$
Конус	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$	$S_{бок} = \pi r l,\ S_{полн} = \pi r(l+r)$
Шар	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$S = 4\pi r^2$

Во всех формулах: $r$ — радиус, $h$ — высота, $l$ — образующая конуса, $S$ — площадь основания.

Как меняются соотношения при изменении размеров

Соотношение линейных размеров	Соотношение поверхностей	Соотношение объёмов
$1:2$	$1:4$	$1:8$
$1:3$	$1:9$	$1:27$
$1:k$	$1:k^2$	$1:k^3$

Если линейный размер увеличивается в $k$ раз, то поверхность — в $k^2$ , а объём — в $k^3$ раз.

✎Боковая поверхность конуса (даны радиус и высота)

1Дано: Радиус основания конуса $r = 6$ см, высота $h = 8$ см. Найти боковую поверхность.
2Найти образующую: В формуле боковой поверхности нужна не высота, а образующая: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
3Применить формулу: $S_{бок} = \pi r l = \pi\cdot 6\cdot 10$ .
4Ответ: $S_{бок} = 60\pi$ см $^2$ .

✎Нахождение объёма шара по его поверхности

1Дано: Поверхность шара $S = 36\pi$ см $^2$ . Найти объём.
2Найти радиус: $S = 4\pi r^2 = 36\pi$ , откуда $r^2 = 9$ , то есть $r = 3$ см.
3Формула объёма: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 27$ .
4Ответ: $V = 36\pi$ см $^3$ .

🚫Частая ошибка

Не забывайте коэффициент $\frac{1}{3}$ для пирамиды и конуса. Если площадь основания равна $18$ , а высота $6$ , то объём пирамиды — не $S\cdot h = 108$ , а $\frac{1}{3}\cdot 108 = 36$ см $^3$ .

⚠️Внимание

Если дан диаметр, сначала найдите $r = \frac{d}{2}$ . Для шара с диаметром $6$ : $r = 3$ , $V = \frac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi$ ; подстановка $d = 6$ вместо радиуса даст ошибочный результат $288\pi$ .

⚠️Внимание

Внимательно читайте условие: что требуется — объём, боковая или полная поверхность? Для конуса: $\pi r l$ — боковая, $\pi r(l+r)$ — полная поверхность.

💡Заметка

В формуле боковой поверхности цилиндра есть коэффициент $2$ ( $2\pi r h$ ), а у конуса — нет ( $\pi r l$ ). Эту разницу часто путают.

💡Заметка

Ответы с $\pi$ сохраняются в точной символической форме (например $36\pi$ ) — переводить их в десятичную дробь не нужно.

Правила

1Призма/параллелепипед: $V = S\cdot h$ . Прямоугольный параллелепипед: $V = a\cdot b\cdot c$ , $S_{полн} = 2(ab + bc + ca)$ .
2Пирамида: $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ (площадь основания $S$ , высота $h$ ).
3Цилиндр: $V = \pi r^2 h$ . $S_{бок} = 2\pi r h$ . $S_{полн} = 2\pi r(h + r)$ .
4Конус: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . $S_{бок} = \pi r l$ ( $l$ — образующая). $S_{полн} = \pi r(l + r)$ . $l^2 = r^2 + h^2$ .
5Шар: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . $S = 4\pi r^2$ . Если дан диаметр $d$ , то $r = \frac{d}{2}$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс