1.6· Chapter 1: Натуральные числа и действия с ними· ~12 мин

Умножение и деление натуральных чисел

Как применять свойства умножения и деления.

Тема закрепляет умножение и деление натуральных чисел, включая удобные свойства вычислений.

📌Пример

Например, 25⋅4=10025\cdot 4=100 и 125⋅8=1000125\cdot 8=1000 удобно запомнить как опорные произведения.

Ключевые термины

Множители — Числа, которые перемножают. В записи 6⋅7=426\cdot 7=42 числа 66 и 77 — множители, а 4242 — произведение.
Произведение — Результат умножения. В 25⋅4=10025\cdot 4=100 произведение равно 100100.
Делимое и делитель — В записи 56÷8=756\div 8=7 число 5656 — делимое, 88 — делитель, 77 — частное.
Переместительное свойство — От перестановки множителей произведение не меняется: 3⋅7=7⋅33\cdot 7=7\cdot 3.
Сочетательное свойство — Множители можно группировать как угодно: (4⋅5)⋅3=4⋅(5⋅3)(4\cdot 5)\cdot 3=4\cdot(5\cdot 3).
Остаток — Что остаётся, когда деление неполное. При делении 1717 на 55 остаток равен 22, так как 5⋅3=155\cdot 3=15 и 17−15=217-15=2.
Свойства умножения
СвойствоФормулаПример
Переместительноеa⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot a3⋅7=7⋅33\cdot 7=7\cdot 3
Сочетательное(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)(4⋅5)⋅3=4⋅(5⋅3)(4\cdot 5)\cdot 3=4\cdot(5\cdot 3)
Проверка деленияa÷b=c⇒c⋅b=aa\div b=c\Rightarrow c\cdot b=a48÷6=848\div 6=8, ведь 8⋅6=488\cdot 6=48

Свойства помогают считать удобнее и проверять ответ.

Опорные произведения
ПроизведениеРезультат
25⋅425\cdot 4100100
125⋅8125\cdot 810001000
25⋅825\cdot 8200200
9⋅99\cdot 98181

Эти равенства удобно запомнить для быстрого счёта.

✎Удобное умножение: 15⋅16⋅2515\cdot 16\cdot 25
  1. 1Переставим множители: 15⋅16⋅25=16⋅(15⋅25)15\cdot 16\cdot 25=16\cdot(15\cdot 25)
  2. 2Считаем скобку по-другому: Удобнее сгруппировать так: 16⋅25=40016\cdot 25=400
  3. 3Умножаем на оставшийся: 400⋅15=6000400\cdot 15=6000
  4. 4Ответ: 15⋅16⋅25=600015\cdot 16\cdot 25=6000
✎Умножение разности и суммы: 48⋅5248\cdot 52
  1. 1Представим как (50−2)(50+2)(50-2)(50+2): 48⋅52=(50−2)(50+2)48\cdot 52=(50-2)(50+2)
  2. 2Раскрываем: (50−2)(50+2)=50⋅50−2⋅2(50-2)(50+2)=50\cdot 50-2\cdot 2
  3. 3Считаем: 2500−4=24962500-4=2496
  4. 4Ответ: 48⋅52=249648\cdot 52=2496
🚫Частая ошибка

При умножении 999⋅7999\cdot 7 нельзя писать 70007000: это 1000⋅71000\cdot 7, а 999⋅7999\cdot 7 меньше на 77, то есть 7000−7=69937000-7=6993.

⚠️Внимание

Не путай свойства: 3⋅73\cdot 7 равно 7⋅37\cdot 3 (переместительное), а не 3+73+7, 7−37-3 или 3÷73\div 7.

💡Заметка

Деление всегда можно проверить умножением: 48÷6=848\div 6=8, потому что 8⋅6=488\cdot 6=48.

💡Заметка

Если деление неполное, ищи остаток: при делении 1717 на 55 берём 5⋅3=155\cdot 3=15, тогда остаток 17−15=217-15=2.

💡Заметка

Чтобы решить 15x=22515x=225, раздели обе части на 1515: x=225÷15=15x=225\div 15=15.

Правила

  1. 1Используй переместительное (a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot a) и сочетательное ((a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)) свойства.
  2. 2Деление проверяется умножением: если a÷b=ca\div b=c, то c⋅b=ac\cdot b=a.
  3. 3Сначала оцени ответ примерно.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс