4.4· Chapter 4: Проценты· ~12 мин

Увеличение и уменьшение величины на определенный процент

Изменение величин на проценты.

Изменение на процент означает, что сначала находят процент от числа, затем прибавляют или вычитают его. Увеличить число aa на p%p\% — значит найти a⋅p100a\cdot\frac{p}{100} и прибавить к aa; уменьшить — вычесть. Удобнее сразу умножать: увеличение на 10%10\% — это ⋅1.1\cdot 1.1, уменьшение на 20%20\% — это ⋅0.8\cdot 0.8.

Ключевые термины

Процент — Сотая часть величины: 1%=11001\%=\frac{1}{100}. Например, 10%10\% от 200200 — это 2020.
Увеличение на p%p\% — Прибавить к числу его p%p\%. Равносильно умножению на (1+p100)\left(1+\frac{p}{100}\right).
Уменьшение на p%p\% — Вычесть из числа его p%p\%. Равносильно умножению на (1−p100)\left(1-\frac{p}{100}\right).
Коэффициент изменения — Множитель, на который умножают число: для +30%+30\% это 1.31.3, для −50%-50\% это 0.50.5.
Скидка — Уменьшение цены на процент. Скидка 15%15\% означает умножение цены на 0.850.85.
Последовательное изменение — Несколько процентов подряд: проценты не складывают, а умножают коэффициенты.
Процент → множитель
ИзменениеМножитель
Увеличить на 10%10\%⋅1.1\cdot 1.1
Увеличить на 30%30\%⋅1.3\cdot 1.3
Увеличить на 50%50\%⋅1.5\cdot 1.5
Уменьшить на 20%20\%⋅0.8\cdot 0.8
Уменьшить на 25%25\%⋅0.75\cdot 0.75
Уменьшить на 50%50\%⋅0.5\cdot 0.5

Увеличение на p%p\% — множитель 1+p1001+\frac{p}{100}, уменьшение — 1−p1001-\frac{p}{100}.

Примеры изменения величины
ЗадачаРешениеОтвет
200200 увеличить на 10%10\%200⋅1.1200\cdot 1.1220220
500500 уменьшить на 20%20\%500⋅0.8500\cdot 0.8400400
400400 уменьшить на 25%25\%400⋅0.75400\cdot 0.75300300
5050 увеличить на 50%50\%50⋅1.550\cdot 1.57575

Один множитель сразу даёт итоговую величину.

✎Цена со скидкой: 24002400 руб., скидка 15%15\%
  1. 1Найдём 15%15\% от цены: 2400⋅15100=3602400\cdot\frac{15}{100}=360 руб.
  2. 2Вычтем скидку: 2400−360=20402400-360=2040 руб.
  3. 3Проверка через множитель: 2400⋅(1−0.15)=2400⋅0.85=20402400\cdot(1-0.15)=2400\cdot 0.85=2040.
  4. 4Ответ: 20402040 руб.
✎Подорожание на 30%30\%, затем удешевление на 30%30\%: итог в %
  1. 1Берём начальное число 100100: Удобно считать от 100%100\%.
  2. 2Рост на 30%30\%: 100⋅1.3=130100\cdot 1.3=130.
  3. 3Снижение на 30%30\%: 130⋅0.7=91130\cdot 0.7=91.
  4. 4Ответ: Стало 9191 из 100100, то есть 91%91\% от начального.
🚫Частая ошибка

«Увеличить на 30%30\%» — это умножить на 1.31.3, а не на 0.30.3 и не прибавить просто 3030. Множитель 0.30.3 даёт лишь 30%30\% от числа.

⚠️Внимание

Проценты подряд не складываются: рост на 30%30\%, затем спад на 30%30\% даёт 91%91\%, а не 100%100\% — число не возвращается к исходному.

💡Заметка

Чтобы найти исходное число по результату, делите на множитель: если +40%+40\% дало 7070, то 70:1.4=5070:1.4=50.

💡Заметка

Скидку p%p\% удобно считать умножением на (1−p100)\left(1-\frac{p}{100}\right): при 20%20\% это ⋅0.8\cdot 0.8.

Правила

  1. 1Найди процент от исходной величины: a⋅p100a\cdot\frac{p}{100}.
  2. 2Для увеличения прибавь, для уменьшения вычти.
  3. 3Увеличение на p%p\% можно сделать умножением на (1+p100)\left(1+\frac{p}{100}\right), уменьшение — на (1−p100)\left(1-\frac{p}{100}\right).
  4. 4Проверь реалистичность результата.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс