6.2· Chapter 6: Плоские фигуры· ~12 мин

Смежные и вертикальные углы

Свойства углов при пересечении прямых.

Смежные углы в сумме дают 180°180°, а вертикальные углы равны.

Ключевые термины

Смежные углы — Два угла с общей стороной, у которых другие стороны образуют прямую. Их сумма равна 180°180°.
Вертикальные углы — Два угла, образованные пересечением двух прямых и не имеющие общей стороны. Они равны между собой.
Развёрнутый угол — Угол, равный 180°180°; его стороны образуют прямую.
Прямой угол — Угол, равный 90°90°. Смежный с прямым углом тоже равен 90°90°.
Перпендикулярные прямые — Прямые, пересекающиеся под углом 90°90°. Обозначаются a⊥ba\perp b.
Точка пересечения — Общая точка двух прямых; при пересечении образуются 44 угла, сумма которых равна 360°360°.
Свойства углов при пересечении прямых
Вид угловСвойствоЗапись
СмежныеВ сумме 180°180°α+β=180°\alpha+\beta=180°
ВертикальныеРавныα=β\alpha=\beta
Все четыре углаСумма 360°360°α+β+α+β=360°\alpha+\beta+\alpha+\beta=360°

При пересечении двух прямых образуются 2 пары вертикальных и 4 пары смежных углов.

Если один угол равен α
УголЗначение
Данныйα\alpha
Смежный180°−α180°-\alpha
Вертикальный данномуα\alpha
Вертикальный смежному180°−α180°-\alpha

Пример: при α=72°\alpha=72° четыре угла равны 72°, 108°, 72°, 108°72°,\ 108°,\ 72°,\ 108°.

✎Смежные углы: один =70°=70°, найти другой
  1. 1Свойство: Сумма смежных углов равна 180°180°.
  2. 2Уравнение: 70°+x=180°70°+x=180°
  3. 3Решение: x=180°−70°=110°x=180°-70°=110°
  4. 4Ответ: Другой угол равен 110°110°.
✎Вертикальные углы (3x−20)°(3x-20)° и (2x+10)°(2x+10)°, найти xx
  1. 1Свойство: Вертикальные углы равны, поэтому приравниваем выражения.
  2. 2Уравнение: 3x−20=2x+103x-20=2x+10
  3. 3Переносим: 3x−2x=10+203x-2x=10+20
  4. 4Ответ: x=30x=30.
💡Заметка

Чтобы найти смежный угол, вычитай данный из 180°180°: 180°−α180°-\alpha.

🚫Частая ошибка

Не путай: смежные углы дают в сумме 180°180°, а вертикальные просто равны. Для вертикальных НЕ нужно вычитать из 180°180°.

⚠️Внимание

Вертикальные углы в сумме дают 180°180° только в особом случае, когда каждый равен 90°90°.

💡Заметка

При пересечении двух прямых сумма всех четырёх углов всегда равна 360°360°.

⚠️Внимание

Если a⊥ca\perp c и b⊥cb\perp c, то прямые aa и bb параллельны, а не перпендикулярны.

Правила

  1. 1Сумма смежных углов равна 180°180°.
  2. 2Вертикальные углы равны.
  3. 3Используй свойства для нахождения неизвестного угла.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс