7.1· Chapter 7: Геометрические тела и измерения· ~12 мин

Площадь поверхности куба и кубоида

Как считать площадь поверхности объемных тел.

Площадь поверхности — это сумма площадей всех граней тела. У куба $6$ одинаковых квадратных граней, поэтому $S=6a^2$ . У кубоида со сторонами $a$ , $b$ , $c$ грани идут парами: $S=2(ab+bc+ac)$ .

Ключевые термины

Грань — Плоский многоугольник, ограничивающий объёмное тело. У куба и кубоида грани — прямоугольники.

Ребро — Отрезок, по которому пересекаются две грани. У куба и кубоида

12

рёбер.

Куб — Тело с

6

одинаковыми квадратными гранями; все рёбра равны.

Кубоид — Прямоугольный параллелепипед:

6

прямоугольных граней, образующих

3

пары одинаковых.

Площадь поверхности — Сумма площадей всех граней тела. Измеряется в квадратных единицах.

Объём — Мера занятого телом пространства. Для куба

V=a^3

, для кубоида

V=a\cdot b\cdot c

Формулы куба и кубоида

Величина	Куб	Кубоид
Площадь поверхности	$S=6a^2$	$S=2(ab+bc+ac)$
Объём	$V=a^3$	$V=a\cdot b\cdot c$
Число граней	$6$	$6$
Число рёбер	$12$	$12$

Грани кубоида

5\times4\times3

Пара граней	Площадь одной	Двух граней
$5\times4$	$20$	$40$
$5\times3$	$15$	$30$
$4\times3$	$12$	$24$

Итого: $40+30+24=94$ .

✎Площадь поверхности куба со стороной

3

1Одна грань: Грань — квадрат: $3\cdot 3=9$ .
2Шесть граней: У куба $6$ равных граней: $6\cdot 9=54$ .
3Ответ: $S=54$ .

✎Площадь поверхности кубоида

5\times4\times3

1Три пары граней: $5\times4=20$ , $5\times3=15$ , $4\times3=12$ .
2Сумма площадей: $20+15+12=47$ .
3Удваиваем: Каждая грань встречается дважды: $2\cdot 47=94$ .
4Ответ: $S=94$ .

🚫Частая ошибка

У куба $6$ граней, а не $4$ . Не путай число граней ( $6$ ) с числом рёбер ( $12$ ).

⚠️Внимание

Чтобы найти ребро по площади поверхности, дели на $6$ , затем извлекай корень: из $6a^2=54$ получаем $a^2=9$ , $a=3$ .

⚠️Внимание

Коробка без крышки — это $5$ граней, а не $6$ . Не считай отсутствующую грань.

💡Заметка

Для кубоида сначала сложи три разные грани $(ab+bc+ac)$ , потом умножь на $2$ .

💡Заметка

Если ребро удвоить, площадь поверхности растёт в $4$ раза ( $2^2$ ), ведь $S$ зависит от $a^2$ .

Правила

1Найди площадь каждой грани.
2Учитывай одинаковые грани (у куба все $6$ равны, у кубоида — $3$ пары).
3Сложи площади всех граней.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс