7.2· Chapter 7: Геометрические тела и измерения· ~14 мин

Площадь поверхности прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник

Площадь поверхности призмы с треугольным основанием.

Площадь поверхности прямой призмы состоит из боковой поверхности и двух равных оснований: Sполн=Sбок+2⋅SоснS_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2\cdot S_{\text{осн}}. Боковая поверхность равна периметру основания, умноженному на высоту: Sбок=P⋅hS_{\text{бок}}=P\cdot h. Для основания — прямоугольного треугольника с катетами aa и bb — площадь равна Sосн=12⋅a⋅bS_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b.

Ключевые термины

Прямая призма — Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а боковые грани — прямоугольники.
Основание — Два равных параллельных многоугольника призмы; у треугольной призмы это треугольники.
Боковая поверхность — Сумма площадей боковых граней: Sбок=P⋅hS_{\text{бок}}=P\cdot h, где PP — периметр основания.
Полная поверхность — Боковая поверхность плюс два основания: Sполн=Sбок+2⋅SоснS_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2\cdot S_{\text{осн}}.
Высота призмы — Длина бокового ребра прямой призмы — расстояние между основаниями.
Периметр основания — Сумма длин всех сторон многоугольника-основания; задаёт длину боковой поверхности.
Формулы поверхности прямой призмы
ВеличинаФормула
Площадь основания (прям. треуг.)Sосн=12⋅a⋅bS_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b
Боковая поверхностьSбок=P⋅hS_{\text{бок}}=P\cdot h
Полная поверхностьSполн=P⋅h+2⋅SоснS_{\text{полн}}=P\cdot h+2\cdot S_{\text{осн}}

a,ba,b — катеты, PP — периметр основания, hh — высота призмы.

Элементы треугольной призмы
ЭлементКоличество
Грани55
Вершины66
Рёбра99

Две треугольные грани (основания) и три прямоугольные (боковые).

✎Полная поверхность призмы (катеты 5, 12; гипотенуза 13), высота 4
  1. 1Площадь основания: Sосн=12⋅5⋅12=30S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30
  2. 2Периметр основания: P=5+12+13=30P=5+12+13=30
  3. 3Боковая поверхность: Sбок=P⋅h=30⋅4=120S_{\text{бок}}=P\cdot h=30\cdot 4=120
  4. 4Полная поверхность: Sполн=120+2⋅30=180S_{\text{полн}}=120+2\cdot 30=180
✎Боковая поверхность призмы (катеты 3, 4; гипотенуза 5), высота 8
  1. 1Периметр основания: P=3+4+5=12P=3+4+5=12
  2. 2Боковая поверхность: Sбок=P⋅h=12⋅8=96S_{\text{бок}}=P\cdot h=12\cdot 8=96
🚫Частая ошибка

Не забывай про ДВА основания: полная поверхность — это Sбок+2⋅SоснS_{\text{бок}}+2\cdot S_{\text{осн}}, а не Sбок+SоснS_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}.

⚠️Внимание

Площадь прямоугольного треугольника — это 12⋅a⋅b\frac{1}{2}\cdot a\cdot b (половина произведения катетов), а не a⋅ba\cdot b.

⚠️Внимание

В периметр основания входит и гипотенуза: P=a+b+cP=a+b+c. Не считай только два катета.

💡Заметка

Боковая поверхность прямой призмы всегда равна P⋅hP\cdot h, где PP — периметр основания, hh — высота.

💡Заметка

У треугольной призмы 55 граней, 66 вершин и 99 рёбер; боковые грани — прямоугольники.

Правила

  1. 1Найди площадь основания Sосн=12⋅a⋅bS_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b.
  2. 2Вычисли боковую поверхность Sбок=P⋅hS_{\text{бок}}=P\cdot h.
  3. 3Сложи все части: Sполн=Sбок+2⋅SоснS_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2\cdot S_{\text{осн}}.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс