m6-5.3· Fəsil 5: Tam ədədlər· ~25 dəq

Çoxluqlar və iki sonlu çoxluğun fərqi

Çoxluq və çoxluqların fərqi

Çoxluq — aydın müəyyən olunmuş obyektlərin (ədədlər, hərflər, əşyalar) yığımına deyilir və böyük hərflərlə ( $A$ , $B$ , $M$ və s.) işarələnir. Çoxluğun elementləri fiqurlu mötərizə daxilində sadalanır, məsələn $A=\{1,2,3,4,5\}$ . Əgər $x$ obyekti $A$ çoxluğuna daxildirsə, $x\in A$ yazılır və « $x$ , $A$ -nın elementidir» oxunur; əks halda $x\notin A$ yazılır. Elementlərinin sayı sonlu (hesablana bilən) olan çoxluğa sonlu çoxluq deyilir. Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və $\varnothing$ simvolu ilə işarələnir. Əgər $A$ çoxluğunun bütün elementləri eyni zamanda $B$ çoxluğunun da elementidirsə, $A$ -ya $B$ -nin alt çoxluğu deyilir və $A\subset B$ yazılır. İki çoxluq üzərində əsas əməliyyatlardan biri fərqdir: $A\setminus B$ — $A$ çoxluğunda olan, lakin $B$ çoxluğunda olmayan bütün elementlərin çoxluğudur.

📌Nümunə

Məsələn, $A=\{1,2,3,4,5\}$ və $B=\{2,4,6\}$ olarsa, $A$ -nın $B$ -də olmayan elementləri $1,3,5$ -dir, deməli $A\setminus B=\{1,3,5\}$ . Əksinə, $B\setminus A$ — $B$ -də olub $A$ -da olmayan elementlərdir: $B$ -nin $6$ elementi $A$ -da yoxdur, ona görə $B\setminus A=\{6\}$ . Göründüyü kimi $A\setminus B\neq B\setminus A$ — fərq əməliyyatı yerdəyişmə xassəsinə tabe deyil, sıra vacibdir! Başqa misal: $A=\{2,4,6,8,10\}$ (cüt ədədlər), $B=\{4,8\}$ olarsa, $A\setminus B=\{2,6,10\}$ . Fərqlə yanaşı, kəsişmə $A\cap B$ (ortaq elementlər) və birləşmə $A\cup B$ (bütün elementlər) də çoxluqlar üzərində əməliyyatlardır, lakin bu mövzunun əsas diqqəti fərq $A\setminus B$ -dədir.

Əsas terminlər

Çoxluq — Aydın müəyyən olunmuş obyektlərin (elementlərin) yığımı; böyük hərflə işarələnir, məsələn

A=\{1,2,3\}

Element — Çoxluğu təşkil edən hər bir obyekt;

x\in A

deyilişi «

x

A

-nın elementidir»,

x\notin A

isə «

x

A

-nın elementi deyil» mənasını verir.

Sonlu çoxluq — Elementlərinin sayı hesablana bilən (sonlu) olan çoxluq.

Boş çoxluq — Heç bir elementi olmayan çoxluq;

\varnothing

simvolu ilə işarələnir.

Alt çoxluq —

A

-nın bütün elementləri

B

-nin də elementidirsə,

A

-ya

B

-nin alt çoxluğu deyilir:

A\subset B

Çoxluqların fərqi —

A\setminus B

—

A

-da olan, lakin

B

-də olmayan elementlərin çoxluğu;

A\setminus B\neq B\setminus A

Çoxluqlar üzərində əsas əməliyyatlar

Əməliyyat	İşarə	Mənası
Kəsişmə	$A\cap B$	Hər iki çoxluqda olan ortaq elementlər
Birləşmə	$A\cup B$	Hər iki çoxluğun bütün elementləri (təkrarsız)
Fərq ( $A$ -dan $B$ -ni çıxmaq)	$A\setminus B$	$A$ -da olan, $B$ -də olmayan elementlər
Fərq ( $B$ -dən $A$ -nı çıxmaq)	$B\setminus A$	$B$ -də olan, $A$ -da olmayan elementlər

Nümunə üzərində fərqin hesablanması (

A=\{1,2,3,4,5\}

B=\{2,4,6\}

)

İfadə	Nəticə	İzah
$A\cap B$	$\{2,4\}$	Hər iki çoxluqda olan ədədlər
$A\setminus B$	$\{1,3,5\}$	$A$ -nın $B$ -də olmayan elementləri
$B\setminus A$	$\{6\}$	$B$ -nin $A$ -da olmayan elementi
$A\cup B$	$\{1,2,3,4,5,6\}$	Bütün elementlər (təkrarsız)

✎İki çoxluğun fərqinin tapılması

1Şərt: $A=\{1,2,3,4,5\}$ və $B=\{2,4,6\}$ verilib. $A\setminus B$ və $B\setminus A$ çoxluqlarını tapın.
2Həll: $A\setminus B$ üçün $A$ -nın elementlərindən $B$ -də olanları ( $2$ və $4$ ) çıxarırıq: qalır $1,3,5$ , deməli $A\setminus B=\{1,3,5\}$ . $B\setminus A$ üçün $B$ -nin elementlərindən $A$ -da olanları ( $2$ və $4$ ) çıxarırıq: qalır $6$ , deməli $B\setminus A=\{6\}$ . Nəticələr fərqlidir: $A\setminus B\neq B\setminus A$ .

✎Cüt ədədlər çoxluğunda fərq

1Şərt: $A=\{2,4,6,8,10\}$ ( $1$ -dən $10$ -a qədər cüt ədədlər) və $B=\{4,8\}$ verilib. $A\setminus B$ çoxluğunu tapın.
2Həll: $A$ -nın elementlərindən $B$ -də olan $4$ və $8$ çıxarılır. Qalan elementlər: $2,6,10$ . Deməli $A\setminus B=\{2,6,10\}$ .

💡Qeyd

Çoxluqda elementlərin sırası önəmli deyil və təkrarlanmır: $\{1,2,3\}$ ilə $\{3,1,2\}$ eyni çoxluqdur.

💡Qeyd

$A\setminus B$ tapmaq üçün sadəcə $A$ -nın siyahısından $B$ -də olan elementləri silmək kifayətdir.

⚠️Diqqət

$A\setminus B$ ilə $B\setminus A$ ümumiyyətlə fərqli çoxluqlardır — çıxma əməliyyatı kimi sıra vacibdir, yerdəyişmə xassəsi yoxdur.

🚫Tez-tez səhv

Ən çox rast gəlinən səhv $A\setminus B$ -ni kəsişmə $A\cap B$ ilə qarışdırmaqdır: $A\setminus B$ ortaq elementləri DEYİL, məhz $A$ -da qalan, $B$ -də olmayan elementləri göstərir.

Qaydalar

1Çoxluq — aydın müəyyən olunmuş obyektlərin (elementlərin) yığımıdır; elementlər fiqurlu mötərizədə yazılır: $\{a,b,c\}$ .
2 $x\in A$ — « $x$ , $A$ -nın elementidir»; $x\notin A$ — « $x$ , $A$ -nın elementi deyil».
3Elementlərinin sayı sonlu olan çoxluğa sonlu çoxluq deyilir; heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və $\varnothing$ ilə işarələnir.
4 $A\setminus B$ — $A$ -da olan, lakin $B$ -də olmayan elementlərin çoxluğudur; ümumiyyətlə $A\setminus B\neq B\setminus A$ .
5Kəsişmə $A\cap B$ — hər iki çoxluqda olan ortaq elementlər; birləşmə $A\cup B$ — hər iki çoxluğun bütün elementləri (təkrarsız).

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq