m6-6.4· Fəsil 6: İfadələr və koordinat· ~25 dəq

Bərabərsizliklər

Ədədi bərabərsizliklər və həlli

Bərabərsizlik iki ədəd və ya ifadə arasında << (kiçikdir), ≤\le (kiçik-bərabərdir), >> (böyükdür), ≥\ge (böyük-bərabərdir) işarələrindən biri ilə yazılan münasibətdir. Məsələn, x<3x<3 ifadəsi "xx dəyəri 33-dən kiçikdir" deməkdir və bu şərti ödəyən BÜTÜN ədədlər bərabərsizliyin həllər çoxluğunu təşkil edir.

Həllər çoxluğunu ədəd oxunda göstərmək üçün sərhəd nöqtəsindən istifadə olunur: << və >> işarələrində (ciddi bərabərsizlik) sərhəd ədəd həllərə daxil OLMADIĞINDAN açıq nöqtə (boş dairə) ilə, ≤\le və ≥\ge işarələrində (qeyri-ciddi bərabərsizlik) isə sərhəd ədəd həllərə DAXİL olduğundan qapalı nöqtə (dolu dairə) ilə işarələnir.

Sadə bir dəyişənli bərabərsizlikləri tənlik kimi həll edirik: hər iki tərəfə eyni ədədi əlavə edir və ya çıxırıq, yaxud hər iki tərəfi eyni MÜSBƏT ədədə vururuq/bölürük — bərabərsizliyin işarəsi DƏYİŞMİR. Məsələn: - x+3<7x+3<7: hər iki tərəfdən 33 çıxırıq: x<4x<4. Natural həllər: 1,2,31,2,3. - x−2≥3x-2\ge3: hər iki tərəfə 22 əlavə edirik: x≥5x\ge5. - 2x≤102x\le10: hər iki tərəfi 22-yə bölürük: x≤5x\le5.

Verilmiş aralıqda neçə tam və ya natural ədəd həll olduğunu tapmaq üçün əvvəlcə bərabərsizliyi həll edir, sonra sərhədin açıq/qapalı olmasını nəzərə alaraq həmin aralıqdakı ədədləri sadalayıb sayırıq.

Əsas terminlər

Bərabərsizlik — İki ədəd və ya ifadə arasında <<, ≤\le, >> və ya ≥\ge işarəsi ilə yazılan münasibət.
Ciddi bərabərsizlik — << və ya >> işarəsi ilə yazılan bərabərsizlik; sərhəd ədəd həllərə daxil DEYİL.
Qeyri-ciddi bərabərsizlik — ≤\le və ya ≥\ge işarəsi ilə yazılan bərabərsizlik; sərhəd ədəd həllərə daxildir.
Həllər çoxluğu — Bərabərsizliyi doğru edən bütün xx dəyərlərinin çoxluğu.
Açıq nöqtə — Ədəd oxunda ciddi bərabərsizliyin (<<, >>) sərhədini göstərən boş (dolu olmayan) dairə işarəsi.
Qapalı nöqtə — Ədəd oxunda qeyri-ciddi bərabərsizliyin (≤\le, ≥\ge) sərhədini göstərən dolu dairə işarəsi.
Bərabərsizlik işarələri və mənaları
İşarəAdıMənasıSərhəd nöqtəsi
<<Kiçikdirxx sərhəddən kiçikdirAçıq nöqtə
≤\leKiçik-bərabərdirxx sərhəddən kiçik və ya ona bərabərdirQapalı nöqtə
>>Böyükdürxx sərhəddən böyükdürAçıq nöqtə
≥\geBöyük-bərabərdirxx sərhəddən böyük və ya ona bərabərdirQapalı nöqtə
Sadə bərabərsizliklərin həlli üsulları
Bərabərsizlik formasıƏməliyyatNümunəNəticə
x+a<bx+a<bHər iki tərəfdən aa çıxılırx+3<7x+3<7x<4x<4
x−a≥bx-a\ge bHər iki tərəfə aa əlavə edilirx−2≥3x-2\ge3x≥5x\ge5
ax≤bax\le b (a>0a>0)Hər iki tərəf aa-ya bölünür2x≤102x\le10x≤5x\le5
✎Bərabərsizliyi həll et və natural həlləri tap
  1. 1Şərt: x+3<7x+3<7 bərabərsizliyini həll edin və natural ədəd həllərini sadalayın.
  2. 2Həll: Hər iki tərəfdən 33 çıxırıq: x+3−3<7−3⇒x<4x+3-3<7-3 \Rightarrow x<4. x<4x<4 şərtini ödəyən natural ədədlər: 1,2,31,2,3. Cəmi 33 natural həll var.
✎İki şərti eyni zamanda ödəyən ədədlərin sayı
  1. 1Şərt: 5x≤255x\le25 və x>1x>1 şərtlərini eyni zamanda ödəyən neçə natural ədəd olduğunu tapın.
  2. 2Həll: Əvvəlcə 5x≤255x\le25 bərabərsizliyini həll edirik: hər iki tərəfi 55-ə bölürük, x≤5x\le5. İndi x>1x>1 şərti ilə birləşdiririk: 11-dən böyük və 55-dən kiçik-bərabər olan natural ədədlər 2,3,4,52,3,4,5-dir. Cəmi 44 ədəd.
💡Qeyd

Bərabərsizliyi tənlik kimi həll edirik: hər iki tərəfə eyni ədəd əlavə/çıxıla bilər, yaxud hər iki tərəf eyni MÜSBƏT ədədə vurulub/bölünə bilər — işarə DƏYİŞMİR.

⚠️Diqqət

≤\le və ≥\ge işarələrində sərhəd ədəd HƏLLƏRƏ DAXİLDİR — ədəd oxunda qapalı nöqtə ilə göstərilir; << və >> işarələrində isə sərhəd daxil DEYİL — açıq nöqtə ilə göstərilir.

🚫Tez-tez səhv

Ən çox yayılmış səhv: x<4x<4 bərabərsizliyinin natural həllərini sayarkən 44-ü də daxil etmək. Unutma: 44 sərhəd ədədidir və ciddi << bərabərsizliyinə görə həllərə daxil DEYİL.

💡Qeyd

Aralıqdakı tam ədədlərin sayını tapmaq üçün düstur: son−əvvəl+1\text{son}-\text{əvvəl}+1 (hər ikisi daxil olduqda). Məsələn 55-dən 88-ə qədər: 8−5+1=48-5+1=4 ədəd.

Qaydalar

  1. 1<< — kiçikdir, ≤\le — kiçik-bərabərdir, >> — böyükdür, ≥\ge — böyük-bərabərdir.
  2. 2x<ax<a və ya x>ax>a bərabərsizliklərində sərhəd aa həllərə daxil DEYİL — ədəd oxunda açıq nöqtə.
  3. 3x≤ax\le a və ya x≥ax\ge a bərabərsizliklərində sərhəd aa həllərə DAXİLDİR — ədəd oxunda qapalı nöqtə.
  4. 4Hər iki tərəfə eyni ədəd əlavə/çıxmaq işarəni dəyişmir: x+a<b⇒x<b−ax+a<b \Rightarrow x<b-a; x−a≥b⇒x≥b+ax-a\ge b \Rightarrow x\ge b+a.
  5. 5Hər iki tərəfi eyni MÜSBƏT ədədə vurmaq/bölmək işarəni dəyişmir: ax≤b⇒x≤baax\le b \Rightarrow x\le\frac{b}{a} (a>0a>0).

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq