Как называется уравнение, записанное в виде ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)?

Кубическое уравнение

Составное уравнение

Что получится при упрощении уравнения x^2 - 3x + 2 = x^2 + x - 4?

Уравнение не имеет решений

g9-1.1· Глава 1: Квадратные уравнения· ~12 мин

Понятие квадратного уравнения

Определение, стандартная форма, коэффициенты.

Уравнение, записанное в виде $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ), называется квадратным уравнением. $a$ — старший коэффициент (число перед $x^2$ ), $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член. Пример: из уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$ получаем $a = 2$ , $b = -5$ , $c = 3$ .

Если бы $a = 0$ , то $x^2$ обнулялся бы и уравнение стало бы линейным — поэтому условие $a \neq 0$ обязательно.

📌Пример

Например, при записи уравнения $3x^2 + 7x - 10 = 0$ в стандартной форме получаем $a = 3$ , $b = 7$ , $c = -10$ .

Ключевые термины

Квадратное уравнение — Уравнение, записанное в виде

ax^2 + bx + c = 0

(

a \neq 0

Старший коэффициент

a

— Число перед

x^2

; в квадратном уравнении должно выполняться

a \neq 0

Второй коэффициент

b

— Коэффициент при

x

, например в

2x^2 - 5x + 3 = 0

имеем

b = -5

Свободный член

c

— Слагаемое без переменной; в

x^2 + 4x - 7 = 0

имеем

c = -7

Стандартная форма — Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, приведя уравнение к виду

ax^2 + bx + c = 0

Линейное уравнение — При

a = 0

член

x^2

обнуляется, уравнение переходит в линейную форму

bx + c = 0

Определение коэффициентов

Уравнение	$a$	$b$	$c$
$2x^2 - 5x + 3 = 0$	$2$	$-5$	$3$
$3x^2 + 7x - 2 = 0$	$3$	$7$	$-2$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$	$-1$	$5$	$-6$
$4x^2 - 9 = 0$	$4$	$0$	$-9$
$5x^2 - 3x = 0$	$5$	$-3$	$0$

Сначала приведи уравнение к стандартной форме, затем считывай коэффициенты со знаком.

Является ли уравнение квадратным?

Уравнение	Результат	Причина
$x^2 - x + 7 = 0$	Да	$a = 1 \neq 0$
$3x - 9 = 0$	Нет	$x^2$ отсутствует, уравнение линейное
$x^2 + 2x = x^2$	Нет	$x^2$ сокращается, остаётся $2x = 0$
$\frac{1}{x} + 1 = 0$	Нет	Переменная в знаменателе, не квадратное

Уравнение является квадратным, только если после упрощения остаётся $x^2$ .

✎Привести уравнение

x(2x + 5) = 3

к стандартной форме

1Раскрой скобки: $x \cdot 2x + x \cdot 5 = 3 \Rightarrow 2x^2 + 5x = 3$
2Перенеси всё в одну сторону: $2x^2 + 5x - 3 = 0$
3Считай коэффициенты: $a = 2$ , $b = 5$ , $c = -3$
4Ответ: $2x^2 + 5x - 3 = 0$

✎Найти

a + b + c

для

(2x - 3)(x + 4) = 5x - 6

1Раскрой левую часть: $(2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$
2Запиши равенство: $2x^2 + 5x - 12 = 5x - 6$
3Перенеси правую часть влево: $2x^2 + 5x - 12 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 6 = 0$
4Коэффициенты и сумма: $a = 2$ , $b = 0$ , $c = -6$ , поэтому $a + b + c = 2 + 0 - 6 = -4$
5Ответ: $a + b + c = -4$

⚠️Внимание

В уравнении вида $x^2 + 2x = x^2$ член $x^2$ присутствует с обеих сторон — после сокращения остаётся $2x = 0$ , это не квадратное, а линейное уравнение.

🚫Частая ошибка

В уравнении $3 - 5x + 2x^2 = 0$ читай коэффициенты не по порядку записи, а по степеням $x^2$ , $x$ , свободный член: $a = 2$ , $b = -5$ , $c = 3$ (не $a = 3$ ).

💡Заметка

Бери коэффициент вместе со знаком: в $x^2 + 4x - 7 = 0$ имеем $c = -7$ , а не $+7$ .

⚠️Внимание

$kx^2 - 3x + 1 = 0$ является квадратным только при $k \neq 0$ ; если $k = 0$ , то $x^2$ исчезает и уравнение становится линейным.

💡Заметка

В уравнении вида $5x^2 - 3x = 0$ невидимый свободный член равен $0$ : $c = 0$ .

Правила

1 $a \neq 0$ обязательно — иначе уравнение станет линейным.
2Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые, чтобы получить стандартную форму.
3Следи за знаками коэффициентов: $3 - 5x + 2x^2 \Rightarrow a = 2$ , $b = -5$ , $c = 3$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс