g9-1.2· Глава 1: Квадратные уравнения· ~10 мин

Неполные квадратные уравнения

Методы решения при $b = 0$ или $c = 0$ .

В неполном квадратном уравнении $b = 0$ или $c = 0$ (или оба). Тип 1 — $c = 0$ : $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -\frac{b}{a}$ . Пример: $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(3x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 2$ .

Тип 2 — $b = 0$ : $ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a}$ . Если $d = -\frac{c}{a} > 0$ , то $x = \pm\sqrt{d}$ ; если $d < 0$ , то вещественных корней нет. Пример: $2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Особый случай: $b = 0$ и $c = 0 \Rightarrow ax^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (единственный корень).

📌Пример

Например, решим уравнение $5x^2 - 20 = 0$ : $x^2 = 4$ , $x = \pm 2$ ; из $4x^2 - 9 = 0$ получаем $x^2 = \frac{9}{4}$ , следовательно $x = \pm\frac{3}{2}$ .

Ключевые термины

Неполное квадратное уравнение — Уравнение вида

ax^2 + bx + c = 0

, в котором

b = 0

или

c = 0

(или оба).

Тип 1 (

c = 0

) — Уравнение вида

ax^2 + bx = 0

; решается вынесением общего множителя:

x(ax + b) = 0

Тип 2 (

b = 0

) — Уравнение вида

ax^2 + c = 0

; получаем

x^2 = -\frac{c}{a}

и извлекаем квадратный корень.

Общий множитель —

x

, выносимый за скобки в уравнении

ax^2 + bx = 0

; приравнивая его к нулю, получаем корень

x = 0

Корни с двумя знаками —

x = \pm\sqrt{d}

, получаемые при

x^2 = d

(

d > 0

): один положительный, другой отрицательный корень.

Единственный корень — При

ax^2 = 0

(

b = 0

c = 0

) единственным корнем является

x = 0

Типы неполных квадратных уравнений

Случай	Вид	Метод решения	Корни
$c = 0$	$ax^2 + bx = 0$	$x(ax + b) = 0$	$x = 0$ , $x = -\frac{b}{a}$
$b = 0$ ( $d > 0$ )	$ax^2 + c = 0$	$x^2 = -\frac{c}{a} = d$	$x = \pm\sqrt{d}$
$b = 0$ ( $d < 0$ )	$ax^2 + c = 0$	$x^2 = d < 0$	Вещественных корней нет
$b = 0,\ c = 0$	$ax^2 = 0$	$x^2 = 0$	$x = 0$ (единственный)

В обоих типах шаги неизменны: вынеси множители или извлеки квадратный корень.

Примеры для

ax^2 + c = 0

Уравнение	$x^2 =$	Корни
$2x^2 - 8 = 0$	$4$	$x = \pm 2$
$4x^2 - 9 = 0$	$\frac{9}{4}$	$x = \pm\frac{3}{2}$
$3x^2 = 75$	$25$	$x = \pm 5$
$x^2 + 9 = 0$	$-9$	Вещественных корней нет

Сначала выдели $x^2$ , затем возьми $\pm\sqrt{\ }$ ; если правая часть отрицательна — корней нет.

✎Тип 1:

5x^2 + 3x = 0

— произведение корней

1Вынеси общий множитель: $5x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(5x + 3) = 0$
2Приравняй каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $5x + 3 = 0$
3Найди второй корень: $5x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$
4Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 0$

✎Тип 2:

3x^2 - 48 = 0

— сумма квадратов корней

1Выдели $x^2$ : $3x^2 = 48 \Rightarrow x^2 = \frac{48}{3} = 16$
2Извлеки квадратный корень: $x = \pm\sqrt{16} = \pm 4$ , то есть $x_1 = 4$ , $x_2 = -4$
3Вычисли сумму квадратов: $x_1^2 + x_2^2 = 4^2 + (-4)^2 = 16 + 16$
4Ответ: $x_1^2 + x_2^2 = 32$

🚫Частая ошибка

В уравнениях вида $5x^2 + 3x = 0$ нельзя забывать корень $x = 0$ — произведение корней всегда равно $0$ , так как один из корней равен $0$ .

⚠️Внимание

При $x^2 + c = 0$ ( $c > 0$ , например $x^2 + 9 = 0$ ) получаем $x^2 = -9 < 0$ , поэтому вещественных корней нет — не записывай ошибочно $\pm 3$ .

💡Заметка

$x^2 = d$ ( $d > 0$ ) всегда даёт два корня: $x = \pm\sqrt{d}$ . Не выбирай только положительный или только отрицательный ответ.

💡Заметка

$ax^2 = 0$ (то есть $b = 0$ и $c = 0$ ) даёт только $x = 0$ — это единственный корень, знак $\pm$ не ставится.

⚠️Внимание

В уравнениях вида $(x - 2)^2 = 9$ сначала запиши $x - 2 = \pm 3$ , затем реши каждый случай отдельно: $x = 5$ или $x = -1$ .

Правила

1Если $c = 0$ , то $x = 0$ всегда является корнем.
2Если $ax^2 = d$ ( $d > 0$ ), то $x = \pm\sqrt{\frac{d}{a}}$ .
3Если $ax^2 = d$ ( $d < 0$ ), то вещественных корней нет.
4Вынеси общий множитель за скобки, затем каждый множитель приравняй к нулю.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс