Какое из следующих утверждений о правильном многоугольнике верно?

Только стороны равны, а углы различны

Только углы равны, а стороны различны

Стороны и углы могут быть произвольными

g9-11.4· Глава 11: Четырёхугольники и многоугольники· ~14 мин

Многоугольники и теорема Фалеса

Углы многоугольника, правильный многоугольник и теорема Фалеса.

Многоугольник — это фигура, замкнутая несколькими отрезками (сторонами); многоугольник с $n$ сторонами называется $n$ -угольником. Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$ -угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$ : у треугольника $180^\circ$ , у четырёхугольника $360^\circ$ , у пятиугольника $540^\circ$ , у шестиугольника $720^\circ$ . В каждой вершине внешний угол дополняет внутренний до $180^\circ$ , поэтому сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$ .

У правильного многоугольника все стороны и все углы равны; один внутренний угол равен $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ , а один внешний — $\frac{360^\circ}{n}$ . Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Из этой пропорции можно найти неизвестный отрезок.

📌Пример

Например: один внутренний угол правильного пятиугольника равен $\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$ .

Ключевые термины

Многоугольник (

n

-угольник) — Фигура, замкнутая несколькими отрезками (сторонами); многоугольник с

n

сторонами называется

n

-угольником.

Сумма внутренних углов — Сумма внутренних углов выпуклого

n

-угольника равна

(n-2) \cdot 180^\circ

Внешний угол — Угол, дополняющий внутренний до

180^\circ

в каждой вершине; сумма всех внешних углов всегда равна

360^\circ

Правильный многоугольник — Многоугольник, у которого все стороны и все углы равны; один внутренний угол равен

\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}

, один внешний —

\frac{360^\circ}{n}

Теорема Фалеса — Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Угол правильного пятиугольника — Один внутренний угол правильного пятиугольника равен

\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ

, один внешний —

72^\circ

Внутренние и внешние углы — основные формулы

Величина	Формула
Сумма внутренних углов	$(n-2) \cdot 180^\circ$
Сумма внешних углов	$360^\circ$
Один внутренний угол правильного	$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$
Один внешний угол правильного	$\frac{360^\circ}{n}$
Связь внутреннего и внешнего	внутренний $= 180^\circ -$ внешний

Все формулы относятся к выпуклому $n$ -угольнику.

Сумма внутренних углов многоугольников

Многоугольник	$n$	Сумма внутренних углов
Треугольник	$3$	$180^\circ$
Четырёхугольник	$4$	$360^\circ$
Пятиугольник	$5$	$540^\circ$
Шестиугольник	$6$	$720^\circ$
Восьмиугольник	$8$	$1080^\circ$

Сумма вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$ .

✎Один внутренний угол правильного девятиугольника

1Найди сумму внутренних углов: При $n = 9$ сумма $= (9-2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ .
2Раздели на один угол: В правильном многоугольнике все углы равны: один угол $= \frac{1260^\circ}{9}$ .
3Результат: $\frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ$ . Один внутренний угол равен $140^\circ$ .

✎Число сторон по внешнему углу

1Запиши формулу: Один внешний угол правильного многоугольника равен $\frac{360^\circ}{n}$ ; здесь внешний угол равен $40^\circ$ .
2Составь уравнение: $\frac{360^\circ}{n} = 40^\circ$ , откуда $n = \frac{360^\circ}{40^\circ}$ .
3Результат: $n = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9$ . Многоугольник имеет $9$ сторон.

🚫Частая ошибка

$\frac{360^\circ}{n}$ — это не формула суммы; она даёт лишь один внешний угол правильного многоугольника. Для суммы внутренних углов используй $(n-2) \cdot 180^\circ$ .

⚠️Внимание

Сумма внешних углов не зависит от числа сторон — в любом выпуклом многоугольнике она всегда равна $360^\circ$ , а не $n \cdot 360^\circ$ .

💡Заметка

Один внутренний и один внешний угол в сумме дают $180^\circ$ : например, если внешний $36^\circ$ , то внутренний $= 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$ .

⚠️Внимание

Когда нужно найти $n$ по данной сумме, решай уравнение $(n-2) \cdot 180^\circ =$ сумма: например, при сумме $1440^\circ$ получаем $n-2 = 8$ , то есть $n = 10$ .

Правила

1Сумма внутренних углов $n$ -угольника $= (n-2) \cdot 180^\circ$ (треугольник $180^\circ$ , четырёхугольник $360^\circ$ , пятиугольник $540^\circ$ , шестиугольник $720^\circ$ ).
2Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$ .
3Один внутренний угол правильного многоугольника $= \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ , один внешний $= \frac{360^\circ}{n}$ .
4Внутренний и внешний углы в одной вершине в сумме дают $180^\circ$ : внутренний $= 180^\circ -$ внешний.
5Теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки ( $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ); неизвестный отрезок находится из этой пропорции.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс