g9-11.3· Глава 11: Четырёхугольники и многоугольники· ~13 мин

Трапеция

Основания, средняя линия, площадь, равнобедренная и прямоугольная трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого только ОДНА пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями (их длины обозначаются aa и bb), а две другие стороны — боковыми сторонами. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон; она параллельна основаниям и равна полусумме оснований: m=a+b2m = \frac{a + b}{2}.

Площадь трапеции находится умножением полусуммы оснований на высоту: S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2} \cdot h, то есть S=S = средняя линия × высота. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны; углы при каждом основании равны между собой, а диагонали также равны. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, и эта боковая сторона является одновременно высотой.

📌Пример

Например: у трапеции с основаниями a=6a = 6 и b=10b = 10 и высотой h=4h = 4 средняя линия m=6+102=8m = \frac{6 + 10}{2} = 8, а площадь S=8⋅4=32S = 8 \cdot 4 = 32 кв. единицы.

Ключевые термины

Трапеция — Четырёхугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна.
Основания — Параллельные стороны трапеции; их длины обозначаются aa и bb.
Боковые стороны — Две непараллельные стороны трапеции.
Средняя линия — Отрезок, соединяющий середины боковых сторон; параллелен основаниям, m=a+b2m = \frac{a+b}{2}.
Равнобедренная трапеция — Трапеция с равными боковыми сторонами; углы при основании и диагонали равны.
Прямоугольная трапеция — Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям; эта сторона равна высоте.
Основные формулы трапеции
ВеличинаФормула
Средняя линияm=a+b2m = \frac{a+b}{2}
ПлощадьS=a+b2⋅hS = \frac{a+b}{2} \cdot h
Площадь (через среднюю линию)S=m⋅hS = m \cdot h
Высотаh=2Sa+bh = \frac{2S}{a+b}
Неизвестное основаниеb=2Sh−ab = \frac{2S}{h} - a

aa, bb — основания; hh — высота; mm — средняя линия.

Виды трапеций и их свойства
ВидХарактерное свойство
Обычная трапецияТолько одна пара параллельных сторон (основания)
РавнобедреннаяБоковые стороны равны, диагонали равны, углы при основании равны
ПрямоугольнаяОдна боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте

Три случая соответствуют разным типам задач.

✎Нахождение неизвестного основания через среднюю линию
  1. 1Дано: Средняя линия m=9m = 9, одно основание a=6a = 6. Найти другое основание b=?b = ?
  2. 2Запишем формулу: Так как средняя линия m=a+b2m = \frac{a+b}{2}, то a+b2=9\frac{a+b}{2} = 9.
  3. 3Найдём сумму: Умножим обе части на 22: a+b=18a + b = 18.
  4. 4Выразим bb: b=18−a=18−6=12b = 18 - a = 18 - 6 = 12.
  5. 5Ответ: Другое основание b=12b = 12.
✎Нахождение большего основания через площадь
  1. 1Дано: Площадь S=60S = 60, высота h=6h = 6, меньшее основание a=7a = 7. Найти большее основание b=?b = ?
  2. 2Формула площади: S=a+b2⋅hS = \frac{a+b}{2} \cdot h, то есть 60=7+b2⋅660 = \frac{7+b}{2} \cdot 6.
  3. 3Найдём среднюю линию: Разделим обе части на 66: 7+b2=10\frac{7+b}{2} = 10.
  4. 4Сумма оснований: Умножим на 22: 7+b=207 + b = 20, откуда b=13b = 13.
  5. 5Ответ: Большее основание b=13b = 13.
🚫Частая ошибка

Находить среднюю линию через разность оснований — ошибка. Она находится через СУММУ: m=a+b2m = \frac{a+b}{2}, а не a−b2\frac{a-b}{2}.

⚠️Внимание

Не забудь разделить на два в формуле площади: S=a+b2⋅hS = \frac{a+b}{2} \cdot h. Если написать (a+b)⋅h(a+b) \cdot h, получишь удвоенную площадь.

⚠️Внимание

В равнобедренной трапеции диагонали только РАВНЫ. То, что они делятся пополам в точке пересечения, — свойство параллелограмма, а не трапеции.

💡Заметка

Площадь = средняя линия ×\times высота (S=m⋅hS = m \cdot h). Если средняя линия известна, нет необходимости находить основания по отдельности.

💡Заметка

В прямоугольной трапеции перпендикулярная боковая сторона и есть высота; используй её непосредственно как hh в формуле площади.

Правила

  1. 1В трапеции только одна пара противоположных сторон параллельна; параллельные стороны — основания (aa, bb), остальные — боковые стороны.
  2. 2Средняя линия параллельна основаниям и равна m=a+b2m = \frac{a + b}{2} (полусумма оснований).
  3. 3Площадь: S=a+b2⋅h=S = \frac{a + b}{2} \cdot h = средняя линия × высота; отсюда h=2Sa+bh = \frac{2S}{a + b} и можно найти неизвестное основание.
  4. 4В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при основании равны, диагонали равны.
  5. 5В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс