g9-2.5· Глава 2: Действительные числа· ~14 мин

Упрощение корневых выражений

Сложение, умножение, разность квадратов.

Сложение: слагаемые с одинаковым подкоренным выражением: 23+53=732\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}. Смешанный случай: 8+2=22+2=32\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} (сначала упрости). Свойство умножения корней: a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}; a⋅a=a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a.

Разность квадратов: (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b. Пример: (7+3)(7−3)=7−3=4(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 7 - 3 = 4. Полный квадрат: (a+b)2=a+2ab+b(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b.

📌Пример

Например, (5+2)(5−2)=5−2=3(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 5 - 2 = 3.

Ключевые термины

Слагаемые с одинаковым подкоренным выражением — Слагаемые с одинаковым выражением под корнем: ac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}.
Упрощение корня — Вынесение полного квадрата из-под знака корня: 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
Свойство умножения корней — a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}, а также a⋅a=a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a.
Формула разности квадратов — (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b — корни исчезают, результат является целым числом.
Формула полного квадрата — (a+b)2=a+2ab+b(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b.
Рационализация — Устранение корня в знаменателе умножением на сопряжённое: 13−1=3+12\frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}.
Основные формулы
ДействиеФормулаПример
Сложениеac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}23+53=732\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
Умножениеa⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}2⋅8=4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4
Одинаковый кореньa⋅a=a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a35⋅5=153\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 15
Разность квадратов(a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b(7+3)(7−3)=4(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = 4
Полный квадрат(a+b)2=a+2ab+b(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b(5+3)2=8+215(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 8+2\sqrt{15}

Основные формулы действий с корневыми выражениями.

Упрощение корня
ВыражениеМножитель — полный квадратУпрощённый вид
8\sqrt{8}4⋅24 \cdot 2222\sqrt{2}
12\sqrt{12}4⋅34 \cdot 3232\sqrt{3}
50\sqrt{50}25⋅225 \cdot 2525\sqrt{2}
27\sqrt{27}9⋅39 \cdot 3333\sqrt{3}
75\sqrt{75}25⋅325 \cdot 3535\sqrt{3}

Из-под знака корня выносится наибольший полный квадрат.

✎Вычисли сумму 18+50\sqrt{18} + \sqrt{50}
  1. 1Упрости первый корень: 18=9⋅2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}.
  2. 2Упрости второй корень: 50=25⋅2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}.
  3. 3Сложи слагаемые с одинаковым подкоренным выражением: 32+52=823\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}.
  4. 4Ответ: 18+50=82\sqrt{18} + \sqrt{50} = 8\sqrt{2}.
✎Раскрой выражение (5+3)2(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2
  1. 1Применить формулу полного квадрата: (a+b)2=a+2ab+b(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b, где a=5a=5, b=3b=3.
  2. 2Сложи целые части: a+b=5+3=8a + b = 5 + 3 = 8.
  3. 3Вычисли средний член: 2ab=25⋅3=2152\sqrt{ab} = 2\sqrt{5 \cdot 3} = 2\sqrt{15}.
  4. 4Ответ: (5+3)2=8+215(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 8 + 2\sqrt{15}.
🚫Частая ошибка

Для 8+2\sqrt{8} + \sqrt{2} ответ НЕ равен 10\sqrt{10}. Сначала упрости: 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}, затем 22+2=322\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}.

⚠️Внимание

При сложении подкоренное выражение не меняется: 23+53=732\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}, а не 767\sqrt{6} или 797\sqrt{9}.

💡Заметка

В разности квадратов корни исчезают: (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b всегда даёт целое число.

⚠️Внимание

Перед сложением упрощай каждый корень: 75−27=53−33=23\sqrt{75} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

💡Заметка

Для рационализации знаменателя умножь на сопряжённое: 13−1=3+1(3)2−12=3+12\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}.

Правила

  1. 1ac+bc=(a+b)ca\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} — слагаемые с одинаковым подкоренным выражением.
  2. 2a⋅a=a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a.
  3. 3(a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b.
  4. 4(a+b)2=a+2ab+b(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс