g9-2.4· Глава 2: Действительные числа· ~10 мин

Стандартная форма

Запись вида a×10na \times 10^n (1≤a<101 \le a < 10).

Стандартная форма: a×10na \times 10^n, где 1≤a<101 \le a < 10 и nn — целое число. Большое число: запятую сдвигаем влево, nn положительное. Пример: 47000=4,7×10447000 = 4,7 \times 10^4. Малое число: запятую сдвигаем вправо, nn отрицательное. Пример: 0,0035=3,5×10−30,0035 = 3,5 \times 10^{-3}.

Умножение: (a×10n)⋅(b×10m)=(a⋅b)×10n+m(a \times 10^n) \cdot (b \times 10^m) = (a \cdot b) \times 10^{n+m}. Пример: (3×102)⋅(2×103)=6×105(3 \times 10^2) \cdot (2 \times 10^3) = 6 \times 10^5.

📌Пример

Например, 860000=8,6×105860000 = 8,6 \times 10^5, 0,00042=4,2×10−40,00042 = 4,2 \times 10^{-4}.

Ключевые термины

Стандартная форма — Запись числа в виде a×10na \times 10^n, где 1≤a<101 \le a < 10 и nn — целое число.
Коэффициент (aa) — Число, стоящее перед 10n10^n в стандартной форме; должно удовлетворять условию 1≤a<101 \le a < 10.
Показатель (nn) — Степень числа 1010; целое число, равное количеству позиций сдвига запятой.
Большое число — Число, большее 11; в стандартной форме nn положительное, напр. 47000=4,7×10447000 = 4,7 \times 10^4.
Малое число — Число, меньшее 11; в стандартной форме nn отрицательное, напр. 0,0035=3,5×10−30,0035 = 3,5 \times 10^{-3}.
Умножение в стандартной форме — (a×10n)⋅(b×10m)=(a⋅b)×10n+m(a \times 10^n) \cdot (b \times 10^m) = (a \cdot b) \times 10^{n+m}: умножаем коэффициенты, складываем показатели.
Правила стандартной формы
ДействиеПравило
Условие на коэффициент1≤a<101 \le a < 10
Большое числоnn положительное, напр. 860000=8,6×105860000 = 8,6 \times 10^5
Малое числоnn отрицательное, напр. 0,00042=4,2×10−40,00042 = 4,2 \times 10^{-4}
Умножение(a×10n)(b×10m)=(ab)×10n+m(a \times 10^n)(b \times 10^m) = (ab) \times 10^{n+m}

Определи коэффициент, затем найди показатель по сдвигу запятой.

Примеры обычной записи
Стандартная формаОбычная запись
2⋅1042 \cdot 10^42000020000
9⋅1039 \cdot 10^390009000
6⋅10−26 \cdot 10^{-2}0,060,06
1,25⋅1051,25 \cdot 10^5125000125000

Если nn положительное — сдвигаем запятую вправо, если отрицательное — влево.

✎Запиши число 320000320000 в стандартной форме
  1. 1Найди коэффициент: Поставь запятую после первой цифры: 3,23,2 — удовлетворяет условию 1≤a<101 \le a < 10.
  2. 2Посчитай показатель: Запятая сдвигается от 3,23,2 до 320000320000 на 55 позиций вправо, поэтому n=5n = 5.
  3. 3Результат: 320000=3,2⋅105320000 = 3,2 \cdot 10^5.
✎Вычисли (3⋅105)⋅(4⋅10−3)(3 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^{-3})
  1. 1Умножь коэффициенты: 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.
  2. 2Сложи показатели: 105⋅10−3=105+(−3)=10210^5 \cdot 10^{-3} = 10^{5+(-3)} = 10^2.
  3. 3Объедини: 12⋅10212 \cdot 10^2, но коэффициент 1212 нарушает условие 1≤a<101 \le a < 10.
  4. 4Приведи к стандартной форме: 12⋅102=1,2⋅10312 \cdot 10^2 = 1,2 \cdot 10^3.
⚠️Внимание

При сложении/вычитании показатели НЕ складываются. Сначала приведи к одному показателю: 2,4⋅105+6⋅104=24⋅104+6⋅104=30⋅104=3⋅1052,4 \cdot 10^5 + 6 \cdot 10^4 = 24 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^4 = 30 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10^5.

🚫Частая ошибка

15⋅10315 \cdot 10^3 — НЕ стандартная форма, так как a=15≥10a = 15 \ge 10. Коэффициент всегда должен быть 1≤a<101 \le a < 10.

🚫Частая ошибка

При умножении показатели не перемножают, а СКЛАДЫВАЮТ: 105⋅10−3=10210^5 \cdot 10^{-3} = 10^2 (а не 10−1510^{-15}).

💡Заметка

Для малого числа (a<1a < 1) показатель отрицательный: 0,001=1⋅10−30,001 = 1 \cdot 10^{-3}. Считай нули после запятой.

💡Заметка

При извлечении квадратного корня показатель делится на два: 9⋅108=3⋅104\sqrt{9 \cdot 10^8} = 3 \cdot 10^4.

Правила

  1. 11≤a<101 \le a < 10 — обязательное условие.
  2. 2n=n = количество позиций, на которые сдвигается запятая.
  3. 3Большое число →\to nn положительное. Малое число →\to nn отрицательное.
  4. 4При умножении чисел в стандартной форме: умножаем коэффициенты, складываем показатели.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс