Функция y = -3x + 6 возрастающая или убывающая?

Убывающая, так как k = -3 < 0

Возрастающая, так как b = 6 > 0

Возрастающая, так как k = -3

Ни возрастающая, ни убывающая

g9-3.2· Глава 3: Функции· ~12 мин

Линейная функция

Вид $y = kx + b$ , угловой коэффициент и график

Линейная функция задаётся в виде $y = kx + b$ ( $k \neq 0$ ), где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с осью $y$ . При $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает.

Точка пересечения с осью $y$ равна $(0, b)$ , а точка пересечения с осью $x$ находится подстановкой $y = 0$ : $x = -\frac{b}{k}$ . Например, для функции $y = 2x - 3$ : $k = 2$ , $b = -3$ ; график пересекает ось $x$ в точке $x = \frac{3}{2}$ , а ось $y$ — в точке $(0, -3)$ . Чтобы построить график, достаточно вычислить координаты двух точек и соединить их прямой.

📌Пример

Например, в функции $y = -3x + 6$ : поскольку $k = -3 < 0$ , график убывает, пересекает ось $y$ в точке $(0, 6)$ , а ось $x$ — в точке $x = 2$ .

Ключевые термины

Линейная функция — Функция вида

y = kx + b

(

k \neq 0

), график которой является прямой линией.

Угловой коэффициент (

k

) — Коэффициент, показывающий наклон прямой; для двух точек вычисляется по формуле

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Пересечение с осью

y

(

b

) — Ордината точки, в которой график пересекает ось

y

; точка пересечения равна

(0, b)

Пересечение с осью

x

— Точка, находимая при

y = 0

; равна

x = -\frac{b}{k}

Возрастающая функция — При

k > 0

функция возрастает: с ростом

x

растёт и

y

Убывающая функция — При

k < 0

функция убывает: с ростом

x

значение

y

уменьшается.

y = kx + b

— основные формулы

Искомая величина	Формула
Угловой коэффициент	$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Пересечение с осью $y$	$(0, b)$
Пересечение с осью $x$	$x = -\frac{b}{k}$
Значение при заданном $x$	$y = kx + b$

Свойства графика линейной функции.

Знак

k

и характер функции

Знак $k$	Характер	Пример
$k > 0$	Возрастающая	$y = 7x - 1$
$k < 0$	Убывающая	$y = -3x + 6$
$k = 0$	Постоянная ( $y = b$ )	не линейная

Угловой коэффициент определяет, возрастает или убывает функция.

✎Уравнение прямой, проходящей через точки

(1, 3)

(3, 7)

1Найди угловой коэффициент: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$
2Найди $b$ : Подставь точку $(1, 3)$ в $y = 2x + b$ : $3 = 2 \cdot 1 + b$ , значит $b = 1$ .
3Запиши уравнение: $y = 2x + 1$

✎Значение

x + y

в точке пересечения графиков

y = 3x - 5

y = x + 1

1Приравняй уравнения: В точке пересечения значения $y$ равны: $3x - 5 = x + 1$ .
2Найди $x$ : $3x - x = 1 + 5$ , то есть $2x = 6$ , откуда $x = 3$ .
3Найди $y$ : $y = x + 1 = 3 + 1 = 4$ .
4Вычисли $x + y$ : $x + y = 3 + 4 = 7$

🚫Частая ошибка

Возрастание или убывание функции зависит от $k$ , а не от $b$ . В функции $y = -3x + 6$ хотя $b = 6 > 0$ , но поскольку $k = -3 < 0$ , функция убывает.

⚠️Внимание

Чтобы найти точку пересечения с осью $x$ , полагают $y = 0$ : $x = -\frac{b}{k}$ . Например, для $y = 4x - 8$ : $x = \frac{8}{4} = 2$ .

💡Заметка

Точка пересечения с осью $y$ всегда равна $(0, b)$ : достаточно посмотреть на $b$ . При $x = 0$ получается $y = b$ .

💡Заметка

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. У прямой, параллельной $y = 2x + 3$ , тоже $k = 2$ .

⚠️Внимание

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, приравняй уравнения ( $k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2$ ), найди $x$ , затем подставь в одно из уравнений для нахождения $y$ .

Правила

1В функции $y = kx + b$ коэффициент $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с осью $y$ (y-intercept).
2При $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает; при $k = 0$ получается постоянная функция $y = b$ (не является линейной).
3Чтобы найти точку пересечения с осью $x$ , полагают $y = 0$ и вычисляют $x = -\frac{b}{k}$ .
4Если даны две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ , угловой коэффициент находится по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс

Линейная функция

Графики

Ключевые термины

Правила

Тренировка