g9-3.3· Глава 3: Функции· ~14 мин

Квадратичная функция

Свойства параболы и вершина

Квадратичная функция записывается в виде y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c (a≠0a \neq 0), а её график — парабола. Если a>0a > 0, парабола открыта вверх (выпуклая вниз) и принимает минимальное значение в вершине; если a<0a < 0, парабола открыта вниз (выпуклая вверх) и принимает максимальное значение в вершине.

Координата xx вершины находится по формуле x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}, координата yy — по формуле y0=f(x0)=−D4ay_0 = f(x_0) = -\frac{D}{4a}. Точка пересечения с осью yy (точка пересечения с осью ординат) находится подстановкой x=0x = 0: получаем y=cy = c.

📌Пример

Например, для функции y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3: a=1>0a = 1 > 0, x0=42=2x_0 = \frac{4}{2} = 2, y0=4−8+3=−1y_0 = 4 - 8 + 3 = -1, поэтому вершина (2;−1)(2; -1). Для функции y=2x2−8x+6y = 2x^2 - 8x + 6: a=2>0a = 2 > 0, x0=84=2x_0 = \frac{8}{4} = 2, y0=2⋅4−16+6=−2y_0 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = -2, то есть вершина (2;−2)(2; -2).

Графики

Парабола y = x²−6x+5, вершина (3,−4)
Парабола y = x²−6x+5, вершина (3,−4)

Ключевые термины

Квадратичная функция — Функция вида y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c (a≠0a \neq 0); её график — парабола.
Парабола — График квадратичной функции. При a>0a > 0 открыта вверх, при a<0a < 0 — вниз.
Вершина параболы — Наинизшая или наивысшая точка параболы; её координаты (−b2a; −D4a)\left(-\frac{b}{2a};\, -\frac{D}{4a}\right).
Ось симметрии — Вертикальная прямая, делящая параболу на две равные части; уравнение x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.
Точка пересечения с осью yy — Точка, в которой график пересекает ось yy; при подстановке x=0x = 0 получаем y=cy = c.
Дискриминант — D=b2−4acD = b^2 - 4ac; его знак определяет количество точек пересечения параболы с осью xx.
Основные формулы параболы
ЭлементФормула
Координата xx вершиныx0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}
Координата yy вершиныy0=f(x0)=−D4ay_0 = f(x_0) = -\frac{D}{4a}
Ось симметрииx=−b2ax = -\frac{b}{2a}
Пересечение с осью yyy=cy = c
Пересечения с осью xxРешается уравнение ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Здесь D=b2−4acD = b^2 - 4ac.

Знак дискриминанта и пересечение с осью xx
Знак DDПересечениеКорни
D>0D > 0Две точкиx=−b±D2ax = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
D=0D = 0Одна точка (касание)x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
D<0D < 0Пересечений нетВещественных корней нет

Знак aa: при a>0a > 0 — минимум, при a<0a < 0 — максимум.

✎Найдите вершину функции y=2x2−8x+3y = 2x^2 - 8x + 3
  1. 1Запишем коэффициенты: a=2a = 2, b=−8b = -8, c=3c = 3; так как a>0a > 0, парабола открыта вверх.
  2. 2Координата xx вершины: x0=−b2a=−−82⋅2=84=2x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.
  3. 3Координата yy вершины: y0=f(2)=2⋅22−8⋅2+3=8−16+3=−5y_0 = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.
  4. 4Результат: Вершина (2; −5)(2;\, -5); минимальное значение равно −5-5.
✎Найдите точки пересечения функции y=−x2+4x−3y = -x^2 + 4x - 3 с осью xx
  1. 1Составим уравнение: Для оси xx: −x2+4x−3=0-x^2 + 4x - 3 = 0, то есть x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0.
  2. 2Дискриминант: D=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4>0D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0, значит, два корня.
  3. 3Найдём корни: x=4±42=4±22x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}.
  4. 4Результат: x=62=3x = \frac{6}{2} = 3 и x=22=1x = \frac{2}{2} = 1; точки пересечения x=1x = 1 и x=3x = 3.
🚫Частая ошибка

Неверно брать cc в качестве координаты yy вершины. Сначала находят x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}, затем вычисляют y0=f(x0)y_0 = f(x_0). Например, для y=2x2−8x+3y = 2x^2 - 8x + 3 вершина (2;−5)(2; -5), а не (2;3)(2; 3).

⚠️Внимание

В формуле x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a} не забывайте про знак «минус»: при b=−8b = -8 получаем −−84=2-\frac{-8}{4} = 2 (результат положительный).

💡Заметка

Знак aa определяет направление ветвей: a>0a > 0 — вверх (минимум), a<0a < 0 — вниз (максимум).

💡Заметка

Ось симметрии всегда проходит через вершину: уравнение x=x0=−b2ax = x_0 = -\frac{b}{2a}.

⚠️Внимание

Для нахождения точки пересечения с осью yy подставьте x=0x = 0: y=cy = c. Не путайте это со значением yy в вершине.

Правила

  1. 1Если a>0a > 0, парабола открыта вверх (выпуклая вниз) и минимум — в вершине; если a<0a < 0, парабола открыта вниз (выпуклая вверх) и максимум — в вершине.
  2. 2Координата xx вершины: x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}; координата yy: y0=f(x0)y_0 = f(x_0).
  3. 3Точка пересечения с осью yy находится подстановкой x=0x = 0: y=cy = c; точки пересечения с осью xx — решением уравнения ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
  4. 4Для нахождения точек пересечения с осью xx вычисляется D=b2−4acD = b^2 - 4ac: D>0⇒x=−b±D2aD > 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} (две точки); D=0⇒x=−b2aD = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a} (одна точка, касание); D<0⇒D < 0 \Rightarrow пересечений нет.

Тренировка

10 лёгких · 10 средних · 10 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс