eg1-1.3· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Корни и иррациональные выражения

Квадратные и корни nn-й степени, их свойства и упрощение иррациональных выражений.

Корень nn-й степени an\sqrt[n]{a} — это число, nn-я степень которого равна aa. Основные свойства: ab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, amn=am/n\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}.

Чтобы упростить выражение под корнем, выделяем полный квадрат (или nn-ю степень) в виде множителя: например, 72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}. Для рационализации знаменателя умножаем дробь на подходящее выражение: 13=33\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; для знаменателя вида a−ba - \sqrt{b} используется сопряжённый множитель a+ba + \sqrt{b}.

Ключевые термины

Корень nn-й степени — an\sqrt[n]{a} — число, nn-я степень которого равна aa.
Квадратный корень — a\sqrt{a} (случай n=2n=2): неотрицательное число, квадрат которого равен aa; (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a (a≥0a \ge 0).
Иррациональное выражение — Выражение, содержащее корень, который нельзя извлечь целиком, например 525\sqrt{2}.
Упрощение корня — Выделить полный квадратный множитель из-под знака корня и вынести его: k2⋅m=km\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}.
Рационализация знаменателя — Умножить дробь на подходящее выражение, чтобы устранить корень в знаменателе, например 1a=aa\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}.
Сопряжённый множитель — Для знаменателя a−ba - \sqrt{b} — это a+ba + \sqrt{b}; произведение даёт (a−b)(a+b)=a2−b(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^2 - b.
Основные свойства корней
ПравилоФормулаУсловие
Корень из произведенияa⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}a≥0, b≥0a \ge 0,\ b \ge 0
Корень из частногоab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}a≥0, b>0a \ge 0,\ b > 0
Вынос множителяk2⋅m=km\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}k≥0k \ge 0
Степень корня(a)2=a(\sqrt{a})^2 = aa≥0a \ge 0
В виде степениamn=am/n\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}a≥0a \ge 0

Основные свойства, используемые при преобразовании выражений с корнями.

Рационализация знаменателя
Тип знаменателяНа что умножатьНовый знаменатель
a\sqrt{a}a\sqrt{a}aa
a−ba - \sqrt{b}a+ba + \sqrt{b}a2−ba^2 - b
a−b\sqrt{a} - \sqrt{b}a+b\sqrt{a} + \sqrt{b}a−ba - b

Сопряжённый множитель меняет знак; в результате знаменатель становится рациональным.

✎Упростите выражение 75−12\sqrt{75} - \sqrt{12}
  1. 1Выдели полный квадратный множитель: 75=25⋅3\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} и 12=4⋅3\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}.
  2. 2Вынеси множитель из-под корня: 25⋅3=53\sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3},\ 4⋅3=23\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}.
  3. 3Вычти подобные слагаемые: 53−23=(5−2)3=335\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}.
  4. 4Ответ: 333\sqrt{3}.
✎Рационализируй знаменатель дроби 35−1\frac{3}{\sqrt{5} - 1}
  1. 1Выбери сопряжённый множитель: Знаменатель 5−1\sqrt{5} - 1, поэтому сопряжённый множитель — 5+1\sqrt{5} + 1.
  2. 2Умножь числитель и знаменатель: 35−1⋅5+15+1=3(5+1)(5)2−12\frac{3}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}.
  3. 3Вычисли знаменатель: (5)2−12=5−1=4(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4.
  4. 4Ответ: 3(5+1)4\frac{3(\sqrt{5} + 1)}{4}.
🚫Частая ошибка

При вычитании подобных слагаемых корень не исчезает: 73−43=337\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}, а не 33. Вычитаются только коэффициенты, корневая часть остаётся.

🚫Частая ошибка

В выражении (32)2(3\sqrt{2})^2 коэффициент тоже возводится в квадрат: 32⋅(2)2=9⋅2=183^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18, а не только 99.

⚠️Внимание

При сложении корней числа под знаком корня не складываются: 98+2≠100\sqrt{98} + \sqrt{2} \neq \sqrt{100}. Сначала упрости каждый корень: 72+2=827\sqrt{2} + \sqrt{2} = 8\sqrt{2}.

⚠️Внимание

Выражение вида 9−45\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} всегда неотрицательно: ответ 5−2\sqrt{5} - 2 (а не 2−52 - \sqrt{5}, которое отрицательно).

💡Заметка

Чтобы представить m+2n\sqrt{m + 2\sqrt{n}} в виде (a+b)(\sqrt{a} + \sqrt{b}), найди aa и bb такие, что a+b=ma + b = m и a⋅b=na \cdot b = n.

Правила

  1. 1a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} и ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a≥0a \ge 0, b>0b > 0).
  2. 2Выноси полный квадратный множитель из-под корня: k2⋅m=km\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}.
  3. 3Умножь дробь 1a\frac{1}{\sqrt{a}} на a\sqrt{a}: 1a=aa\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}.
  4. 4Для знаменателя a±ba \pm \sqrt{b} применяй сопряжённый множитель (a∓ba \mp \sqrt{b}).
  5. 5amn=am/n\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}; (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a (a≥0a \ge 0).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс