eg1-1.4· Глава 1: Числа и выражения· ~13 мин

Теория чисел: делимость, НОД и НОК

Признаки делимости, разложение на простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Эта тема изучает законы делимости целых чисел и их взаимосвязь. Число делится на 22, если его последняя цифра чётная; на 33 (и на 99), если сумма цифр делится на 33 (на 99); на 55, если последняя цифра равна 00 или 55; на 44, если число, образованное двумя последними цифрами, делится на 44.

Каждое натуральное число единственным образом раскладывается на простые множители (каноническое разложение). Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел равен произведению общих простых множителей с наименьшими показателями, а наименьшее общее кратное (НОК) — произведению всех простых множителей с наибольшими показателями. Важная формула: НОД(a,b)⋅НОК(a,b)=a⋅b\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b.

Пример: при a=24=23⋅3a = 24 = 2^3 \cdot 3, b=36=22⋅32b = 36 = 2^2 \cdot 3^2 получаем НОД=22⋅3=12\text{НОД} = 2^2 \cdot 3 = 12, НОК=23⋅32=72\text{НОК} = 2^3 \cdot 3^2 = 72; проверка: 12⋅72=864=24⋅3612 \cdot 72 = 864 = 24 \cdot 36.

Ключевые термины

Признак делимости — Правило, позволяющее определить, делится ли одно число на другое, по последней цифре или сумме цифр — без выполнения деления.
Простое число — Число, большее 11, делящееся только на 11 и на себя; например, 2929. Число, большее 11, не являющееся простым, называется составным.
Каноническое разложение — Единственное представление числа в виде произведения степеней простых множителей: n=p1a1⋅p2a2⋅…n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots, например 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3.
НОД — Наибольший общий делитель: произведение общих простых множителей с НАИМЕНЬШИМИ показателями, например НОД(24,36)=22⋅3=12\text{НОД}(24,36)=2^2 \cdot 3=12.
НОК — Наименьшее общее кратное: произведение всех простых множителей с НАИБОЛЬШИМИ показателями, например НОК(24,36)=23⋅32=72\text{НОК}(24,36)=2^3 \cdot 3^2=72.
Взаимно простые числа — Числа, НОД которых равен 11; у них нет общих простых множителей, поэтому НОК(a,b)=a⋅b\text{НОК}(a,b)=a \cdot b, например 77 и 1313.
Признаки делимости
ДелительПризнакПример
22Последняя цифра чётная684684
33Сумма цифр делится на 33312312 (3+1+2=63+1+2=6)
44Число из двух последних цифр делится на 44524524 (2424)
55Последняя цифра 00 или 55245245
99Сумма цифр делится на 99207207 (2+0+7=92+0+7=9)
1010Последняя цифра 00450450

Проверка делимости без выполнения деления.

Формулы НОД, НОК и числа делителей
ФормулаПояснение
НОД\text{НОД}: общие множители, наименьшие показателиНОД(48,72)=23⋅3=24\text{НОД}(48,72)=2^3 \cdot 3=24
НОК\text{НОК}: все множители, наибольшие показателиНОК(24,36)=23⋅32=72\text{НОК}(24,36)=2^3 \cdot 3^2=72
НОД(a,b)⋅НОК(a,b)=a⋅b\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b)=a \cdot b8⋅240=a⋅b=19208 \cdot 240 = a \cdot b = 1920
Число делителей =(a1+1)(a2+1)…=(a_1+1)(a_2+1)\ldots60=22⋅3⋅5⇒3⋅2⋅2=1260=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \Rightarrow 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

НОД, НОК и число делителей через каноническое разложение.

✎НОД и НОК чисел 4848 и 7272
  1. 1Каноническое разложение: 48=24⋅348 = 2^4 \cdot 3, 72=23⋅3272 = 2^3 \cdot 3^2.
  2. 2НОД (наименьшие показатели): Общие множители 22 и 33: НОД=23⋅3=24\text{НОД} = 2^3 \cdot 3 = 24.
  3. 3НОК (наибольшие показатели): НОК=24⋅32=144\text{НОК} = 2^4 \cdot 3^2 = 144.
  4. 4Проверка: НОД⋅НОК=24⋅144=3456=48⋅72\text{НОД} \cdot \text{НОК} = 24 \cdot 144 = 3456 = 48 \cdot 72.
✎Число положительных делителей числа 6060
  1. 1Каноническое разложение: 60=22⋅31⋅5160 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1.
  2. 2Прибавь 11 к каждому показателю: Показатели 2,1,12, 1, 1; прибавляем 11 к каждому: 3,2,23, 2, 2.
  3. 3Вычисли произведение: Число делителей =3⋅2⋅2=12= 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12.
  4. 4Результат: Число 6060 имеет 1212 положительных делителей.
🚫Частая ошибка

Не путайте НОД и НОК: для 2424 и 3636 число 1212 — это НОД, а 7272 — НОК. НОД берёт наименьшие показатели, НОК — наибольшие.

⚠️Внимание

Если a⋅b=НОД⋅НОКa \cdot b = \text{НОД} \cdot \text{НОК}, числа нужно перемножать, а не складывать: при НОД=8\text{НОД}=8, НОК=240\text{НОК}=240 получаем a⋅b=8⋅240=1920a \cdot b = 8 \cdot 240 = 1920.

🚫Частая ошибка

При подсчёте числа делителей не забывайте ни один множитель: для 60=22⋅3⋅560=2^2 \cdot 3 \cdot 5 ответ 3⋅2⋅2=123 \cdot 2 \cdot 2 = 12; если учесть только один показатель, получите 66 — это ошибка.

💡Заметка

В задачах на автобусы или одновременные события «момент следующего совпадения» находится через НОК; «наибольшая равная часть/доля» — через НОД.

💡Заметка

В каноническом разложении должны оставаться только простые числа: 36=22⋅3236 = 2^2 \cdot 3^2 верно, а 22⋅92^2 \cdot 9 — нет, так как 9=329 = 3^2 не является простым.

Правила

  1. 1Признаки делимости: 22 (последняя цифра чётная), 3/93/9 (сумма цифр делится на 3/93/9), 55 (последняя цифра 00 или 55), 44 (число из двух последних цифр делится на 44).
  2. 2Каждое натуральное число единственным образом раскладывается на простые множители: n=p1a1⋅p2a2⋅…n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots
  3. 3НОД: перемножь общие простые множители с НАИМЕНЬШИМИ показателями.
  4. 4НОК: перемножь все простые множители с НАИБОЛЬШИМИ показателями.
  5. 5НОД(a,b)⋅НОК(a,b)=a⋅b\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс