eg1-1.5· Глава 1: Числа и выражения· ~14 мин

Текстовые (словесные) задачи: движение, работа и смеси

Составление и решение уравнений для задач на движение, совместную работу, смеси и применение процентов.

В текстовых задачах цель — ввести переменную для неизвестного и составить уравнение. В задачах на движение основная связь: $s = v \cdot t$ ; скорость сближения при встречном движении равна сумме скоростей, при попутном — разности; в задачах на реку скорость по течению равна $(v+u)$ , против течения — $(v-u)$ .

В задачах на совместную работу вся работа принимается за $1$ , производительность каждого работника — часть, выполняемая за единицу времени, производительности складываются: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$ . В задачах на смеси и растворы масса чистого вещества сохраняется.

Пример: первая труба наполняет бассейн за $6$ часов, вторая — за $12$ часов; за один час вместе наполняется $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ часть, значит бассейн наполнится за $4$ часа.

Ключевые термины

Формула движения — Основная связь между путём, скоростью и временем:

s = v \cdot t

. Отсюда

v = \frac{s}{t}

t = \frac{s}{v}

Скорость сближения — Когда два тела движутся навстречу друг другу — сумма скоростей

v_1 + v_2

; в одном направлении — разность

|v_1 - v_2|

Скорость на реке — Скорость по течению

v + u

, против течения

v - u

; здесь

v

— скорость в стоячей воде,

u

— скорость течения.

Производительность — Часть работы, выполняемая за единицу времени. Вся работа принимается за

1

, производительность равна

\frac{1}{t}

Совместная работа — Когда несколько работников работают вместе, их производительности складываются:

\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}

Чистое вещество — Сохраняющаяся величина в задачах на смеси и растворы: масса

\cdot \frac{\text{концентрация}}{100}

. При добавлении воды масса соли не изменяется.

Формулы для задач на движение и реку

Ситуация	Скорость	Пояснение
Прямолинейное движение	$s = v \cdot t$	Путь равен произведению скорости на время
Навстречу друг другу	$v_1 + v_2$	Скорость сближения — сумма
В одном направлении	$\|v_1 - v_2\|$	Скорость сближения/удаления — разность
По течению	$v + u$	Скорости складываются
Против течения	$v - u$	Скорость течения вычитается

$v$ — скорость тела (лодки), $u$ — скорость течения.

Задачи на работу и смеси

Величина	Формула
Вся работа	$1$
Производительность одного работника	$\frac{1}{t}$
Совместная производительность	$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$
Совместное время	$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$
Чистое вещество	масса $\cdot \frac{\text{концентрация}}{100}$

Производительность слива (дренажа) берётся со знаком минус: $\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}$ .

✎Совместная работа: за сколько часов две трубы наполнят бассейн

1Условие: Первая труба наполняет за $6$ часов, вторая — за $12$ часов.
2Производительности: Первая наполняет $\frac{1}{6}$ , вторая — $\frac{1}{12}$ бассейна за час.
3Совместная производительность: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ за один час.
4Время: Если за $1$ час заполняется $\frac{1}{4}$ часть, то весь бассейн наполнится за $t = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ часа.
5Ответ: $4$ часа.

✎Задача на реку: найти скорость в стоячей воде

1Условие: Лодка проплывает $30$ км вниз по течению и возвращается обратно, затратив всего $8$ часов, скорость течения $u = 2$ км/ч.
2Переменная: Пусть скорость в стоячей воде равна $v$ ; по течению $v+2$ , против течения $v-2$ .
3Уравнение: $\frac{30}{v+2} + \frac{30}{v-2} = 8$ .
4Проверка: $v = 8$ : $\frac{30}{10} + \frac{30}{6} = 3 + 5 = 8$ — выполняется.
5Ответ: $v = 8$ км/ч.

🚫Частая ошибка

Типичная ошибка — складывать скорость и время или делить путь на время вместо умножения. Формула всегда $s = v \cdot t$ ; для пути $180$ км это $60 \cdot 3$ , а не $60 : 3$ .

⚠️Внимание

При встречном движении скорость сближения — сумма ( $v_1 + v_2$ ), а при попутном — разность ( $|v_1 - v_2|$ ). Путаница между этими случаями приводит к ошибкам в задачах на встречное движение.

⚠️Внимание

При совместной работе складывай производительности, а не время. Для $6$ и $12$ часов ответ не $\frac{6+12}{2}=9$ и не $6+12=18$ ; $\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$ , то есть $4$ часа — совместное время всегда меньше каждого отдельного.

💡Заметка

При добавлении воды в раствор масса соли не изменяется, увеличивается только общая масса. К $200$ г $30\%$ -го раствора добавили $100$ г воды: соли остаётся $60$ г, концентрация $\frac{60}{300}\cdot100 = 20\%$ .

💡Заметка

Обращай внимание на вопрос: найди то, о чём спрашивают — «большее число», «сын», «помощник». Если $x = 8$ , то возраст отца $8+24=32$ , но ответ для сына — $8$ .

Правила

1Движение: $s = v \cdot t$ ; скорость сближения $= v_1 + v_2$ , удаления $= |v_1 - v_2|$ .
2Река: скорость по течению $= v + u$ , против течения $= v - u$ ( $u$ — скорость течения).
3Работа: вся работа $= 1$ ; производительность $= \frac{1}{t}$ ; при совместной работе производительности складываются.
4В смесях чистое вещество $=$ масса $\cdot \frac{\text{концентрация}}{100}$ сохраняется.
5Введи неизвестное как переменную, составь уравнение по условию, затем проверь ответ.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс