Сколько вещественных корней имеет уравнение x^2 - 4x + 4 = 0?

Один (кратный) корень

Два различных корня

Имеет ли уравнение x^2 + 2x + 5 = 0 вещественные корни?

Да, два различных корня

Да, один кратный корень

eg1-2.1· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~14 мин

Квадратные уравнения и теорема Виета

Дискриминант, формула корней и применение теоремы Виета.

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) дискриминант равен $D = b^2 - 4ac$ , а корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . По теореме Виета $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Симметричные выражения вычисляются через сумму и произведение: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$ .

📌Пример

Например, для $x^2 - 5x + 6 = 0$ : $x_1 + x_2 = 5$ , $x_1 \cdot x_2 = 6$ , значит корни равны $2$ и $3$ .

Ключевые термины

Квадратное уравнение — Уравнение вида

ax^2 + bx + c = 0

(

a \neq 0

) второй степени;

a

b

c

— коэффициенты.

Дискриминант —

D = b^2 - 4ac

; величина, определяющая количество и вид корней.

Формула корней —

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

; формула нахождения корней через дискриминант.

Теорема Виета — Сумма корней

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

, произведение корней

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Кратный корень — Один (повторяющийся) вещественный корень, возникающий при

D = 0

Разложение на множители — Трёхчлен с корнями

x_1

x_2

записывается в виде

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Знак дискриминанта и корни

Знак $D$	Количество вещественных корней	Пример
$D > 0$	Два различных корня	$x^2 - 5x + 6 = 0$
$D = 0$	Один (кратный) корень	$x^2 - 4x + 4 = 0$
$D < 0$	Вещественных корней нет	$x^2 + 2x + 5 = 0$

Классификация корней по знаку $D = b^2 - 4ac$ .

Теорема Виета и симметричные выражения

Выражение	Формула
Сумма корней	$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней	$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Сумма квадратов	$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$
Сумма обратных величин	$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Вычисление симметричных выражений через сумму и произведение корней.

✎Решить уравнение

x^2 - 5x + 6 = 0

через дискриминант

1Коэффициенты: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .
2Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ .
3Формула корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ .
4Корни: $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ , $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .

✎Найти

x_1^2 + x_2^2

по теореме Виета:

x^2 - 6x + 8 = 0

1Сумма и произведение: По Виету $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{1} = 8$ .
2Симметричная формула: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$ .
3Подстановка: $= 6^2 - 2 \cdot 8 = 36 - 16$ .
4Результат: $x_1^2 + x_2^2 = 20$ .

⚠️Внимание

Знак суммы меняется: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ . В уравнении $x^2 - 7x + 12 = 0$ коэффициент $b = -7$ , поэтому сумма равна $+7$ , а не $-7$ .

🚫Частая ошибка

Нельзя брать только $(x_1 + x_2)^2$ для $x_1^2 + x_2^2$ : необходимо обязательно вычесть $2 x_1 x_2$ . Для $x^2 - 8x + 12 = 0$ ответ $64 - 24 = 40$ (а не $64$ ).

🚫Частая ошибка

Не путайте сумму с произведением: $\frac{c}{a}$ — произведение, $-\frac{b}{a}$ — сумма. В уравнении $x^2 - 11x + 24 = 0$ сумма равна $11$ , произведение равно $24$ .

💡Заметка

Корни разных знаков (один положительный, один отрицательный) возникают только тогда, когда произведение отрицательно, то есть $\frac{c}{a} < 0$ .

💡Заметка

Для составления уравнения: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$ . Для корней $2$ и $-5$ : $x^2 + 3x - 10 = 0$ .

Правила

1 $D = b^2 - 4ac$ ; $D > 0$ — два вещественных корня, $D = 0$ — один (кратный) корень, $D < 0$ — вещественных корней нет.
2 $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ — формула корней.
3Виет: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .
4 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$ ; $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$ .
5Уравнение с корнями $x_1$ , $x_2$ : $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$ ; $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс