Сколько корней имеет уравнение √(x) = -2?

Бесконечно много

eg1-2.2· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~14 мин

Дробно-рациональные и иррациональные уравнения

Недопустимость обращения знаменателя в ноль и проверка посторонних корней после возведения в квадрат.

В дробно-рациональных уравнениях сначала определяем недопустимые значения (обращающие знаменатель в ноль), затем умножаем обе части на общий знаменатель, находим корни и отбрасываем недопустимые. В иррациональных уравнениях изолируем корень и возводим обе части в квадрат; поскольку это действие может порождать посторонние корни, каждый найденный корень необходимо проверить в исходном уравнении.

Таким образом, ответ всегда должен быть подтверждён исходным уравнением.

📌Пример

Например, если в уравнении $\sqrt{x+2} = x$ возведём обе части в квадрат, получим $x^2 - x - 2 = 0$ , корни $x = 2$ и $x = -1$ . Проверка: для $x = 2$ имеем $\sqrt{4} = 2$ — верно, для $x = -1$ имеем $\sqrt{1} = 1 \neq -1$ — неверно, значит только $x = 2$ .

Ключевые термины

Дробно-рациональное уравнение — Уравнение, в котором неизвестное стоит в знаменателе, например

\frac{6}{x} = 2

; значения, обращающие знаменатель в ноль, недопустимы.

Иррациональное уравнение — Уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком корня

\sqrt{\;}

, например

\sqrt{x+2} = x

Недопустимое значение — Значение, обращающее знаменатель в ноль и потому не могущее быть корнем; для

\frac{5}{x-7}

недопустимо

x = 7

Посторонний корень — Ложный корень, возникающий после возведения в квадрат, но не удовлетворяющий исходному уравнению; отбрасывается при проверке.

Изоляция корня — Оставление выражения

\sqrt{\;}

в одной части уравнения в одиночестве перед возведением в квадрат.

Метод подстановки — Введение замены

t = \sqrt{x}

для преобразования иррационального уравнения в квадратное; условие

t \ge 0

сохраняется.

Шаги решения: по типу уравнения

Тип	Первый шаг	Основное действие	Последний шаг
Дробно-рациональное	Найти недопустимое значение	Умножить на общий знаменатель	Отбросить недопустимый корень
Иррациональное	Изолировать корень	Возвести обе части в квадрат	Проверить каждый корень в исходном уравнении
С подстановкой ( $t=\sqrt{x}$ )	Ввести $t = \sqrt{x} \ge 0$	Решить квадратное уравнение	Найти $x = t^2$ , отбросить $t<0$

В обоих типах последний шаг — проверка или отбрасывание корней.

Условия проверки

Условие	Правило	Пример
Подкоренное выражение	$\sqrt{f(x)}$ требует $f(x) \ge 0$	Для $\sqrt{x-3}$ нужно $x \ge 3$
Знак правой части	$\sqrt{\dots} = a$ только при $a \ge 0$	$\sqrt{x} = -2$ корней нет
Знаменатель	Знаменатель $\neq 0$	Для $\frac{8}{x-2}$ нужно $x \neq 2$

Значение, нарушающее хотя бы одно из этих условий, не может быть корнем.

✎Иррациональное уравнение и проверка постороннего корня:

\sqrt{2x+7} = x+2

1Возведём в квадрат: Возводим обе части в квадрат: $2x + 7 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ .
2Приведём к квадратному уравнению: $x^2 + 4x + 4 - 2x - 7 = 0$ , то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$ .
3Найдём корни: Разложим на множители: $(x+3)(x-1) = 0$ , значит $x = -3$ и $x = 1$ .
4Проверка: Для $x = -3$ правая часть $x + 2 = -1 < 0$ , а $\sqrt{\;}$ неотрицательна — посторонний корень. Для $x = 1$ : $\sqrt{9} = 3 = 1 + 2$ — верно.
5Ответ: Действителен только $x = 1$ .

✎Сумма двух корней:

\sqrt{x+9} - \sqrt{x} = 1

1Изолируем корень: Переносим один корень: $\sqrt{x+9} = 1 + \sqrt{x}$ .
2Возведём в квадрат: $x + 9 = (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x$ .
3Упрощаем: $x$ сокращается: $9 - 1 = 2\sqrt{x}$ , то есть $8 = 2\sqrt{x}$ , $\sqrt{x} = 4$ .
4Находим и проверяем: $x = 4^2 = 16$ . Проверка: $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$ — верно.
5Ответ: $x = 16$ .

🚫Частая ошибка

В уравнении $\sqrt{x-1} = 6$ писать $x - 1 = 6$ — ошибка; сначала нужно возвести в квадрат: $x - 1 = 36$ , $x = 37$ .

⚠️Внимание

Возведение в квадрат может порождать посторонние корни; обязательно проверяйте КАЖДЫЙ найденный корень в исходном уравнении.

⚠️Внимание

Уравнение $\sqrt{\dots} = a$ возможно лишь при $a \ge 0$ ; корень, при котором правая часть отрицательна (например $x = -3$ , тогда $x+2 = -1$ ), отбрасывается.

🚫Частая ошибка

При подстановке не записывайте найденное $t = \sqrt{x}$ как ответ: возведите найденное $t$ в квадрат, $x = t^2$ (например, $t = 5 \Rightarrow x = 25$ ).

💡Заметка

В дробно-рациональном уравнении перед началом решения запишите значение, обращающее знаменатель в ноль — если найденный корень равен ему, уравнение корней не имеет.

Правила

1В дробно-рациональном уравнении значения, обращающие знаменатель в ноль, недопустимы и не могут быть корнями.
2В иррациональном уравнении выражение под знаком $\sqrt{\;}$ должно быть $\ge 0$ .
3Перед возведением в квадрат изолируй корень на одной стороне.
4Условие $\sqrt{\dots} = a$ возможно лишь при $a \ge 0$ .
5Каждый найденный корень обязательно проверяется в исходном уравнении (посторонние корни отбрасываются).

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс