eg1-2.3· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~14 мин

Показательные и логарифмические уравнения

Свойства логарифма, решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

$\log_a b = c$ означает, что $a^c = b$ (где $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ ). В показательном уравнении приводим к одному основанию и приравниваем показатели: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$ .

В логарифмическом уравнении сначала записывают область допустимых значений (аргумент $> 0$ ), затем применяют $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)$ и оставляют только корни из ОДЗ.

Пример: $\log_2 (x+1) = 3 \Rightarrow x + 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 7$ ( $x + 1 = 8 > 0$ ). Показательный пример: $2^{x+1} = 8 = 2^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$ .

Ключевые термины

Логарифм —

\log_a b = c

означает, что

a^c = b

(

a > 0

a \neq 1

b > 0

). Логарифм — это показатель, в который нужно возвести основание, чтобы получить

b

Десятичный логарифм (

\lg

) — Логарифм по основанию

10

\lg x = \log_{10} x

. Например,

\lg 100 = 2

Натуральный логарифм (

\ln

) — Логарифм по основанию

e

\ln x = \log_e x

. Поэтому

\ln e = 1

Показательное уравнение — Уравнение, в котором неизвестное стоит в показателе. Приводим к одному основанию и приравниваем показатели:

a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)

Область допустимых значений (ОДЗ) — В логарифмическом уравнении: условие аргумент

> 0

. Корни, не входящие в ОДЗ (посторонние корни), отбрасываются.

Метод замены переменной — Замена

t = a^x

или

t = \log_a x

сводит уравнение к квадратному; затем выполняется обратный переход от

t

x

Свойства логарифма

Свойство	Формула
Определение	$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$
Произведение	$\log(xy) = \log x + \log y$
Частное	$\log\frac{x}{y} = \log x - \log y$
Степень	$\log_a b^n = n \cdot \log_a b$
Переход к новому основанию	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
Частные случаи	$\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$

Здесь $a > 0$ , $a \neq 1$ и аргументы положительны.

Показательные и логарифмические неравенства: знак в зависимости от основания

Основание	Показательное	Логарифмическое
$a > 1$	$a^f > a^g \Leftrightarrow f > g$	$\log_a f > \log_a g \Leftrightarrow f > g$
$0 < a < 1$	$a^f > a^g \Leftrightarrow f < g$	$\log_a f > \log_a g \Leftrightarrow f < g$

Если основание меньше $1$ , знак неравенства меняется; в логарифмах аргумент всегда $> 0$ .

✎Реши уравнение

\log_5(x-1) + \log_5(x+3) = 1

1Область допустимых значений: Аргументы должны быть положительными: $x - 1 > 0$ и $x + 3 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
2Свойство произведения: $\log_5\big((x-1)(x+3)\big) = 1$ .
3Избавляемся от логарифма: $(x-1)(x+3) = 5^1 = 5$ .
4Квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$ .
5Корни: $x = 2$ или $x = -4$ .
6Проверка ОДЗ: $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 1$ , это посторонний корень. Ответ: $x = 2$ .

✎Реши уравнение

4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0

1Приводим к одному основанию: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ , поэтому $(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ .
2Замена переменной: Пусть $t = 2^x$ ( $t > 0$ ): $t^2 - 3t - 4 = 0$ .
3Решаем квадратное уравнение: $(t-4)(t+1) = 0 \Rightarrow t = 4$ или $t = -1$ .
4Отбрасываем отрицательный корень: Так как $t = 2^x > 0$ , $t = -1$ не подходит; остаётся $t = 4$ .
5Возвращаемся к $x$ : $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ . Ответ: $x = 2$ .

🚫Частая ошибка

Не давай ответ $2$ для $\log_4 64$ : $4^2 = 16$ , а не $64$ . Так как $4^3 = 64$ , правильный показатель равен $3$ .

⚠️Внимание

В логарифмическом уравнении не принимай сразу оба корня квадратного уравнения — проверяй ОДЗ. Например, в уравнении $\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ корень $x = -2$ является посторонним, подходит только $x = 4$ .

⚠️Внимание

Если основание меньше $1$ , знак неравенства меняется: $\log_{1/3} x > -2 \Rightarrow x < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$ , но с учётом $x > 0$ решение $0 < x < 9$ .

💡Заметка

$\log_a a = 1$ и $\log_a 1 = 0$ — не путай. Если аргумент равен основанию, ответ $1$ ; если аргумент равен $1$ , ответ $0$ .

💡Заметка

$\log_2 24 = \log_2(8 \cdot 3) = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + a$ — произведение под логарифмом превращается в сумму, а не в $3a$ .

Правила

1 $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ ).
2 $\log(xy) = \log x + \log y$ , $\log\frac{x}{y} = \log x - \log y$ , $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$ .
3Формула перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ ; $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ .
4В логарифмическом уравнении проверяй условие аргумент $> 0$ и отбрасывай посторонние корни.
5При $a > 1$ : $a^f > a^g \Leftrightarrow f > g$ ; в логарифмах знак неравенства зависит от основания.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс