Решите неравенство (x - 2)(x + 5) < 0.

x ∈ (-∈fty; -5) cup (2; +∈fty)

Решите неравенство (x - 1)(x - 4) > 0.

x ∈ (-∈fty; 1) cup (4; +∈fty)

x ∈ (-∈fty; 1] cup [4; +∈fty)

Решите неравенство x^2 - 9 ≤ 0.

x ∈ (-∈fty; -3] cup [3; +∈fty)

Решите неравенство |x| < 5.

x ∈ (-∈fty; -5) cup (5; +∈fty)

Решите неравенство |x| ≥ 2.

x ∈ (-∈fty; -2] cup [2; +∈fty)

x ∈ (-∈fty; -2) cup (2; +∈fty)

Решите неравенство x + 3/x - 1 > 0.

x ∈ (-∈fty; -3) cup (1; +∈fty)

x ∈ (-∈fty; -3] cup (1; +∈fty)

eg1-2.4· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~14 мин

Неравенства и метод интервалов

Линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства, метод интервалов и запись множества решений.

Чтобы решить неравенство, переносим всё в одну часть, разлагаем выражение на множители и отмечаем на числовой оси точки (корни), в которых выражение обращается в нуль. Эти корни делят ось на интервалы; в каждом интервале берём пробную точку и проверяем знак выражения.

В дробно-рациональном неравенстве нуль знаменателя всегда исключается — эта точка остаётся открытой.

📌Пример

Например, для $(x-1)(x-3) > 0$ корни равны $1$ и $3$ : при $x = 0$ знак $(+)$ , при $x = 2$ — $(-)$ , при $x = 4$ — $(+)$ , поэтому решение $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ .

Ключевые термины

Метод интервалов — Переносим выражение в одну часть, разлагаем на множители, отмечаем корни (нули) на числовой оси и проверяем знак на каждом из получившихся интервалов.

Корень (нулевая точка) — Значения

x

, при которых выражение обращается в нуль; эти точки делят числовую ось на интервалы.

Строгое неравенство — Неравенство со знаком

<

или

>

; корни не входят в множество решений, они изображаются открытыми (пустыми) кружками.

Нестрогое неравенство — Неравенство со знаком

\le

или

\ge

; корни входят в множество решений, они изображаются закрытыми кружками.

Нуль знаменателя — Точка, обращающая знаменатель дроби в нуль; не входит в область определения и поэтому всегда остаётся открытой.

Неравенство с модулем —

|x| < a \Rightarrow -a < x < a

;

|x| > a \Rightarrow x < -a

или

x > a

(

a > 0

Основные правила решения неравенств

Случай	Правило	Пример
Умножение/деление на отрицательное число	Знак меняется на противоположный	$-3x \ge 12 \Rightarrow x \le -4$
Строгое ( $<$ , $>$ )	Корни открытые	$2x - 6 > 0 \Rightarrow x \in (3; +\infty)$
Нестрогое ( $\le$ , $\ge$ )	Корни закрытые	$x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow x \in [-3; 3]$
Нуль знаменателя дроби	Всегда открытая точка	$\frac{x + 3}{x - 1} > 0$ : точка $x = 1$ открытая

Знак неравенства и тип граничных точек (открытые/закрытые).

Раскрытие неравенства с модулем

Условие	Раскрытие	Множество решений
$\|x\| < a$	$-a < x < a$	$x \in (-a; a)$
$\|x\| \le a$	$-a \le x \le a$	$x \in [-a; a]$
$\|x\| > a$	$x < -a$ или $x > a$	$x \in (-\infty; -a) \cup (a; +\infty)$
$\|x\| \ge a$	$x \le -a$ или $x \ge a$	$x \in (-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$

При $a > 0$ : модуль раскрывается в отрезок или в объединение двух лучей.

✎Квадратное неравенство

2x^2 + 5x - 3 \le 0

1Найти корни: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ; разложение на множители: $(2x - 1)(x + 3) = 0$ , корни $x = \frac{1}{2}$ и $x = -3$ .
2Отметить на оси: Корни делят ось на три интервала: $(-\infty; -3)$ , $(-3; \tfrac{1}{2})$ , $(\tfrac{1}{2}; +\infty)$ .
3Проверить знаки: При $x = -4$ знак $(+)$ , при $x = 0$ знак $(-)$ , при $x = 1$ знак $(+)$ ; нам нужно $\le 0$ , то есть область $(-)$ .
4Выбрать граничные точки: Неравенство нестрогое ( $\le$ ), корни закрытые: $x \in [-3; \frac{1}{2}]$ .

✎Дробно-рациональное неравенство

\frac{x - 1}{x + 2} \ge 1

1Перенести в одну часть: $\frac{x - 1}{x + 2} - 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{(x - 1) - (x + 2)}{x + 2} \ge 0$ .
2Упростить: Числитель: $(x - 1) - (x + 2) = -3$ , поэтому $\frac{-3}{x + 2} \ge 0$ .
3Анализ знака: Числитель — постоянная отрицательная величина ( $-3$ ), поэтому дробь $\ge 0$ только при отрицательном знаменателе: $x + 2 < 0$ .
4Результат: $x < -2$ ; нуль знаменателя $-2$ открытый, поэтому $x \in (-\infty; -2)$ .

⚠️Внимание

Не забывай менять знак неравенства при умножении или делении на отрицательный коэффициент: из $-3x \ge 12$ получаем $x \le -4$ , а не $x \ge -4$ .

🚫Частая ошибка

В задаче вида $4x + 5 \le 17$ сначала перенеси $5$ ( $4x \le 12$ ), затем дели ( $x \le 3$ ). Делить сразу на $17$ без переноса даёт неверную границу $11$ .

🚫Частая ошибка

В неравенстве $|x| \le 7$ левая граница равна $-7$ , а не $0$ : модуль охватывает и отрицательные значения, ответ $[-7; 7]$ .

💡Заметка

В выражении вида $(x + 1)^2(x - 2)$ корень с чётным показателем ( $^2$ ) не меняет знак; он лишь обращает выражение в нуль, а окружающие интервалы остаются одного знака.

⚠️Внимание

Если дискриминант $x^2 + x + 1$ отрицателен, выражение никогда не обращается в нуль и всегда положительно — ответ вся числовая ось: $x \in (-\infty; +\infty)$ .

Правила

1При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
2Метод интервалов: отметить корни на оси, проверить знак на каждом интервале
3В строгом неравенстве ( $<$ , $>$ ) корни открытые, в нестрогом ( $\le$ , $\ge$ ) — закрытые
4Нуль знаменателя дроби всегда является открытой точкой (не входит в область определения)
5 $|x| < a \Rightarrow -a < x < a$ ; $|x| > a \Rightarrow x < -a$ или $x > a$ ( $a > 0$ )

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс