eg1-2.5· Глава 2: Уравнения и неравенства· ~15 мин

Системы уравнений и решение задач

Линейные и нелинейные системы с двумя переменными, решение текстовых задач с помощью составления уравнений.

Систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом подстановки или сложения. При подстановке выражаем одну переменную из одного уравнения и подставляем в другое; при методе сложения уравниваем коэффициенты при одной переменной и складываем (или вычитаем) уравнения.

В текстовой задаче обозначаем неизвестные через $x$ и $y$ и составляем два уравнения по условию.

📌Пример

Например, систему $x + y = 10$ , $x - y = 4$ складываем: $2x = 14$ , $x = 7$ , тогда $y = 3$ .

Ключевые термины

Система уравнений — Два (или более) уравнения, которые должны выполняться одновременно. Решением системы с двумя переменными является пара

(x; y)

Метод подстановки — Выразить одну переменную из одного уравнения и подставить в другое, например использовать выражение

y = 2x

Метод сложения — Уравнять коэффициенты при одной переменной и сложить или вычесть уравнения, тем самым исключив одну переменную.

Нелинейная система — Система, в которой хотя бы одно уравнение содержит

x^2

y^2

или

xy

; из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем.

Текстовая задача — Словесная задача, решаемая путём обозначения неизвестных через

x

y

и составления двух уравнений по условию.

Проверка — Подставить найденную пару

(x; y)

в оба уравнения и убедиться в истинности равенств.

Методы решения

Метод	Как применяется	Пример
Подстановка	Выразить переменную, подставить в другое уравнение	$y = 2x$ , $x + y = 9$
Сложение	Сложить уравнения, исключить одну переменную	$x + y = 10$ , $x - y = 2$
Нелинейная	Выразить из линейного, подставить в квадратное	$x^2 + y = 7$ , $x + y = 5$

Три основных способа решения систем с двумя переменными.

Правило суммы и разности

Условие	Формула	Результат
$x + y = S$	Сложить: $2x = S + F$	$x = \frac{S + F}{2}$
$x - y = F$	Вычесть: $2y = S - F$	$y = \frac{S - F}{2}$

Нахождение двух чисел по их сумме $S$ и разности $F$ .

✎Метод сложения:

x + y = 10

x - y = 2

1Сложить уравнения: $(x + y) + (x - y) = 10 + 2$ , то есть $2x = 12$ .
2Найти $x$ : $x = \frac{12}{2} = 6$ .
3Найти $y$ : $x + y = 10 \Rightarrow 6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$ .
4Проверка: $x - y = 6 - 4 = 2$ — верно. Ответ: $(6; 4)$ .

✎Нелинейная система:

x^2 + y = 7

x + y = 5

(

x > 0

)

1Выразить из линейного уравнения: $x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - x$ .
2Подставить в квадратное: $x^2 + (5 - x) = 7$ , то есть $x^2 - x - 2 = 0$ .
3Найти корни: $(x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ или $x = -1$ .
4Применить условие: Так как $x > 0$ , то $x = 2$ , тогда $y = 5 - 2 = 3$ . Ответ: $(2; 3)$ .

🚫Частая ошибка

Перепутать пару $(x; y)$ : если $x = 3$ , $y = 5$ , то ответ — $(3; 5)$ , а не $(5; 3)$ . Обращайте внимание на то, какая переменная спрашивается.

⚠️Внимание

Задача часто спрашивает только одну переменную или «большее/меньшее число». Если нашли $x = 4$ , но спрашивается $y$ , пишите $y$ .

⚠️Внимание

Делить сумму пополам недостаточно: при $x + y = 18$ , $x - y = 4$ меньшее число не $9$ , а $\frac{18 - 4}{2} = 7$ .

💡Заметка

Если в нелинейной системе дано $x^2 + y^2$ , используйте тождество $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ : произведение $xy = \frac{(x+y)^2 - (x^2+y^2)}{2}$ .

💡Заметка

Проверяйте найденное решение В ОБОИХ уравнениях; ответ, удовлетворяющий только одному, может быть неверным.

Правила

1Подстановка: выразить переменную из одного уравнения, подставить в другое.
2Метод сложения: уравнять коэффициенты, сложить или вычесть уравнения.
3В нелинейной системе выразить одну переменную из линейного уравнения и подставить в квадратное.
4В текстовой задаче выбрать неизвестные, составить два уравнения по условию.
5Убедиться в правильности ответа, подставив его в оба уравнения.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс