Уравнения и неравенства с модулем (абсолютным значением)

Ключевые термины

Абсолютное значение — Расстояние числа от нуля на числовой оси: $|x| = x$ ($x \ge 0$), $|x| = -x$ ($x < 0$). Всегда $|x| \ge 0$.

Уравнение $|x| = a$ — При $a > 0$ два решения $x = \pm a$; при $a = 0$ единственное решение $x = 0$; при $a < 0$ решений нет.

Внутренний интервал ($|x| < a$) — При $a > 0$: $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$ — один промежуток.

Два внешних луча ($|x| > a$) — При $a > 0$: $|x| > a \Leftrightarrow x < -a$ или $x > a$ — два раздельных промежутка.

Посторонний корень — В уравнении типа $|f(x)| = g(x)$ — корень, при котором правая часть $g(x) < 0$, не проходящий проверку и отбрасываемый.

Правило произведения и частного — $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ и $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ ($b \neq 0$).