Область определения, чётные/нечётные функции, нули, парабола и преобразования графиков.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (x); например, для y=x−2 выполняется x−2≥0, то есть область определения [2;+∞). Функция чётная, если f(−x)=f(x), и нечётная, если f(−x)=−f(x).
Абсцисса вершины параболы y=ax2+bx+c равна x0=−2ab, а ось симметрии — прямая x=x0. При преобразованиях графиков y=f(x−a)+b означает сдвиг графика f(x) на a единиц вправо и на b единиц вверх.
📌Пример
Например, для y=x2−4x+3: x0=−2⋅1−4=2, y0=4−8+3=−1, вершина (2;−1).
Графики
Графики функций y = x² (парабола), y = 2x − 1 (прямая) и y = |x|
Ключевые термины
Область определения — Множество всех допустимых значений аргумента (x): знаменатель =0, подкоренное выражение ≥0, аргумент логарифма >0.
Чётная функция — Функция, при которой f(−x)=f(x); её график симметричен относительно оси Oy.
Нечётная функция — Функция, при которой f(−x)=−f(x); её график симметричен относительно начала координат.
Нули функции — Корни уравнения f(x)=0, то есть абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.
Вершина параболы — Для y=ax2+bx+c — точка с абсциссой x0=−2ab и ординатой y0=f(x0).
Обратная функция — Функция, получаемая из y=f(x) путём замены x и y местами и выражения y.
Условия на область определения
Выражение
Условие
Пример
x−a1
x−a=0
x−31: x=3
g(x)
g(x)≥0
x−5: x≥5
log(g(x))
g(x)>0
lg(x2−4): x2−4>0
В сложном выражении все условия должны выполняться одновременно (берётся пересечение).
Парабола y=ax2+bx+c
Свойство
Формула / правило
Абсцисса вершины
x0=−2ab
Ось симметрии
x=x0
Ветви
a>0 — вверх, a<0 — вниз
Сумма корней
x1+x2=−ab
Произведение корней
x1⋅x2=ac
При a>0 значение y0 является минимумом, при a<0 — максимумом.
✎Наибольшее значение параболы: y=−x2+8x−7
1Абсцисса вершины: x0=−2ab=−2⋅(−1)8=4.
2Ордината вершины: y0=−(4)2+8⋅4−7=−16+32−7=9.
3Вывод: Так как a<0, вершина является максимумом: наибольшее значение равно 9.
✎Сложная область определения: y=x−2x+4
1Условие подкоренного выражения: x+4≥0, то есть x≥−4.
2Условие знаменателя: x−2=0, то есть x=2.
3Объединяем условия: x≥−4 и x=2 одновременно: [−4;2)∪(2;+∞).
4Вывод: Область определения [−4;2)∪(2;+∞).
🚫Частая ошибка
Для f(x)=−x2+5 при вычислении f(2) сначала возведите в квадрат: −(22)+5=−4+5=1. Ошибка — забыть знак минус и написать 9 или посчитать (−2+5)=3.
⚠️Внимание
В неравенстве типа 8−2x≥0 с отрицательным коэффициентом при делении −2x≥−8 знак неравенства меняется на противоположный: x≤4.
⚠️Внимание
Подкоренное выражение ≥0 (граница включается, квадратная скобка), а аргумент логарифма строго >0 (граница не включается, круглая скобка).
💡Заметка
Следите за знаком в формуле абсциссы вершины: x0=−2ab. Для y=x2+6x+2 получаем x0=−26=−3, а не +3.
💡Заметка
У нечётной функции f(−x)=−f(x), поэтому f(0)=0; у чётной функции f(−x)=f(x), то есть f(2)=f(−2).
Правила
1Область определения: знаменатель =0, подкоренное выражение ≥0, аргумент логарифма >0.
2Чётная функция: f(−x)=f(x) (график симметричен относительно оси Oy); нечётная функция: f(−x)=−f(x) (симметрична относительно начала координат).
3Нули функции — корни уравнения f(x)=0 (абсциссы точек пересечения графика с осью Ox).
4Парабола y=ax2+bx+c: абсцисса вершины x0=−2ab, ось симметрии x=x0; при a>0 ветви направлены вверх, при a<0 — вниз.
5Преобразования: y=f(x−a) — сдвиг на a единиц вправо, y=f(x)+b — сдвиг на b единиц вверх, y=−f(x) — симметрия относительно оси Ox, y=f(−x) — симметрия относительно оси Oy.
