eg1-3.2· Глава 3: Функции и анализ· ~14 мин

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Члены, суммы и прикладные задачи арифметической и геометрической прогрессий.

В арифметической прогрессии каждый член отличается от предыдущего на постоянную разность $d$ : $a_n = a_1 + (n-1)d$ , сумма первых $n$ членов $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ . В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель $q$ : $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ , сумма $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ .

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при $|q| < 1$ находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$ .

📌Пример

Например, в арифметической прогрессии с $a_1 = 2$ , $d = 3$ имеем $a_5 = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ и $S_5 = \frac{(2 + 14) \cdot 5}{2} = 40$ .

Ключевые термины

Арифметическая прогрессия — Последовательность, в которой каждый член отличается от предыдущего на постоянную разность

d

a_n = a_1 + (n-1)d

Разность

d

— Разность соседних членов арифметической прогрессии:

d = a_{n+1} - a_n

(постоянна).

Геометрическая прогрессия — Последовательность, в которой каждый член получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель

q

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Знаменатель

q

— Отношение соседних членов геометрической прогрессии:

q = \frac{b_{n+1}}{b_n}

(постоянно).

Среднее арифметическое — Каждый член прогрессии является средним соседних:

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Среднее геометрическое — В геометрической прогрессии

b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}

; положительное среднее

b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}

Бесконечно убывающая прогрессия — Геометрическая прогрессия с

|q| < 1

; сумма всех членов конечна:

S = \frac{b_1}{1 - q}

Основные формулы

Прогрессия	Общий член	Сумма первых $n$ членов
Арифметическая	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Арифметическая (альтернативная)	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$
Геометрическая	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$	$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Бесконечно убывающая ( $\|q\|<1$ )	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$	$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Формулы общего члена и суммы арифметической и геометрической прогрессий.

Среднее значение и свойства симметрии

Свойство	Формула
Среднее арифметическое	$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
Симметричная сумма (арифметическая)	$a_3 + a_7 = 2a_5$
Среднее геометрическое	$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
Три последовательных члена (геометрическая)	$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = b_2^3$

Связь равноотстоящих членов через среднее значение.

✎Сумма арифметической прогрессии:

a_5 = 20

a_{10} = 35

, найти

S_{10}

1Найти разность: $a_{10} - a_5 = 5d \Rightarrow 35 - 20 = 5d$ , значит $d = 3$ .
2Найти первый член: $a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 20 = a_1 + 12$ , значит $a_1 = 8$ .
3Проверить $a_{10}$ : $a_{10} = 8 + 9 \cdot 3 = 35$ — верно.
4Вычислить сумму: $S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(8 + 35) \cdot 10}{2} = \frac{430}{2}$ .
5Ответ: $S_{10} = 215$ .

✎Периодическая дробь → обыкновенная дробь:

0,(4)

1Записать как прогрессию: $0,(4) = 0,4 + 0,04 + 0,004 + \ldots$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
2Выбрать параметры: Первый член $b_1 = 0,4 = \frac{4}{10}$ , знаменатель $q = \frac{1}{10}$ (так как $|q| < 1$ ).
3Применить формулу суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{4}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{9}{10}}$ .
4Упростить: $S = \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{4}{9}$ .
5Ответ: $0,(4) = \frac{4}{9}$ .

🚫Частая ошибка

Типичная ошибка в формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$ — умножать на $n$ вместо $(n-1)$ . Для $a_6$ добавляется $5d$ , а не $6d$ ; например, при $a_1 = 8$ , $d = -3$ : $a_6 = 8 + 5 \cdot (-3) = -7$ .

⚠️Внимание

Среднее арифметическое — $\frac{a + b}{2}$ , среднее геометрическое — $\sqrt{a \cdot b}$ : не путайте их. Например, для $2$ и $8$ среднее арифметическое равно $5$ , а положительное геометрическое — $\sqrt{16} = 4$ .

⚠️Внимание

Формула суммы бесконечной прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$ работает только при $|q| < 1$ . В знаменателе стоит $1 - q$ (не $1 + q$ ): при $b_1 = 6$ , $q = \frac{1}{4}$ получаем $S = \frac{6}{\frac{3}{4}} = 8$ .

💡Заметка

Сумма равноотстоящих членов равна удвоенному среднему члену: $a_3 + a_7 = 2a_5$ . Поэтому $a_3 + a_5 + a_7 = 3a_5$ , и можно использовать короткий путь: $S_9 = 9a_5$ .

💡Заметка

В геометрической прогрессии знаменатель находится по разности индексов: $b_5 = b_2 \cdot q^3$ , поэтому при $b_2 = 6$ , $b_5 = 48$ имеем $q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$ .

Правила

1Арифметическая: $a_n = a_1 + (n-1)d$ ; $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$ .
2Среднее арифметическое: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ .
3Геометрическая: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ ; $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ , $q \neq 1$ .
4Среднее геометрическое: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ .
5Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ( $|q| < 1$ ): $S = \frac{b_1}{1 - q}$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс