eg1-3.3· Глава 3: Функции и анализ· ~15 мин

Производная и её применения

Производные основных функций, правила дифференцирования, касательная прямая, возрастание/убывание и экстремумы.

Производная функции показывает скорость её изменения и обозначается f′(x)f'(x). Основные правила: (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}, производная константы равна 00, производная суммы равна сумме производных.

Для сложной функции применяется правило цепочки: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). Число f′(x0)f'(x_0) равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке x0x_0.

📌Пример

Например, для f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x имеем f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3; при f′(x)=0f'(x) = 0 получаем x=±1x = \pm 1 — критические точки: в x=1x = 1 минимум, в x=−1x = -1 максимум.

Ключевые термины

Производная f′(x)f'(x) — Величина, показывающая скорость изменения функции; обозначается f′(x)f'(x).
Степенное правило — (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1} — показатель переходит в коэффициент, а сам показатель уменьшается на 11.
Правило цепочки — Для сложной функции (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x); умножается на производную внутренней функции.
Угловой коэффициент касательной — Число f′(x0)f'(x_0) равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке x0x_0.
Критическая точка — Точка, в которой f′(x)=0f'(x) = 0; является кандидатом на экстремум (максимум или минимум).
Возрастание и убывание — При f′(x)>0f'(x) > 0 функция возрастает, при f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает.
Производные основных функций
f(x)f(x)f′(x)f'(x)
xnx^nn⋅xn−1n \cdot x^{n-1}
cc (константа)00
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}

Таблица производных; постоянный коэффициент сохраняется, производная суммы равна сумме производных.

Правила дифференцирования
ПравилоФормула
Произведение(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'
Частное(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Цепочка(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Основные правила для произведения, частного и сложной функции.

✎Производная сложной функции: f(x)=(x2+1)3f(x) = (x^2 + 1)^3
  1. 1Внешняя функция: По степенному правилу для внешней части: 3(x2+1)23(x^2+1)^2.
  2. 2Производная внутренней функции: Производная внутренней функции: (x2+1)′=2x(x^2+1)' = 2x.
  3. 3Правило цепочки: Перемножаем два результата: 3(x2+1)2⋅2x3(x^2+1)^2 \cdot 2x.
  4. 4Ответ: f′(x)=6x(x2+1)2f'(x) = 6x(x^2+1)^2.
✎Касательная прямая: f(x)=x2f(x) = x^2, x0=1x_0 = 1
  1. 1Производная: f′(x)=2xf'(x) = 2x, значит f′(1)=2f'(1) = 2 — угловой коэффициент касательной.
  2. 2Точка касания: Точка касания: f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1, то есть (1;1)(1; 1).
  3. 3Уравнение: Касательная: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)=1+2(x−1)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 1 + 2(x-1).
  4. 4Ответ: y=2x−1y = 2x - 1.
🚫Частая ошибка

В (xn)′(x^n)' показатель переходит в коэффициент И уменьшается на 11. Для f(x)=x7f(x)=x^7 ответ равен 7x67x^6, а не 7x77x^7 — показатель 77 не должен оставаться прежним.

⚠️Внимание

В сложной функции не забывайте умножать на производную внутренней функции: для e3xe^{3x} умножают на (3x)′=3(3x)'=3, ответ 3e3x3e^{3x}, а не e3xe^{3x}.

⚠️Внимание

Не путайте ТОЧКУ локального максимума/минимума (абсциссу xx) со ЗНАЧЕНИЕМ локального максимума/минимума (f(x)f(x)) — внимательно читайте, что именно требует задача.

💡Заметка

Уравнение касательной: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0); угловой коэффициент f′(x0)f'(x_0), точка касания (x0;f(x0))(x_0; f(x_0)).

💡Заметка

Чтобы найти наибольшее/наименьшее значение на отрезке, вычислите ff в критических точках И на концах отрезка, затем сравните.

Правила

  1. 1(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}, (c)′=0(c)' = 0, (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
  2. 2(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x, (ex)′=ex(e^x)' = e^x, (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}.
  3. 3Произведение: (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'; Частное: (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
  4. 4Правило цепочки: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).
  5. 5f′(x)>0f'(x) > 0 → возрастает, f′(x)<0f'(x) < 0 → убывает; f′(x0)=0f'(x_0) = 0 — кандидат на экстремум.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс