eg1-3.4· Глава 3: Функции и анализ· ~14 мин

Основы комбинаторики и теории вероятностей

Правила произведения и сложения, перестановки, сочетания, размещения и классическая вероятность.

Комбинаторика изучает подсчёт числа выборок и расстановок. Правило произведения: если последовательные этапы независимы, то общее число вариантов равно произведению числа вариантов на каждом этапе; правило сложения: при взаимоисключающих вариантах числа складываются.

Перестановка $n$ элементов: $P_n = n!$ ; размещение из $n$ по $k$ (порядок важен): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ ; сочетание (порядок не важен): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ . Классическая вероятность при равновозможных исходах — отношение числа благоприятных исходов к общему числу: $P(A) = \frac{m}{n}$ , $0 \le P(A) \le 1$ . Противоположное событие: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

Пример: сколькими способами можно выбрать комитет из $2$ человек из $5$ ? Поскольку порядок не важен, $C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$ .

Ключевые термины

Правило произведения — При последовательных независимых этапах общее число вариантов равно произведению числа вариантов на каждом этапе (например

3 \cdot 4 = 12

Правило сложения — При взаимоисключающих вариантах числа складываются.

Перестановка — Все упорядоченные расстановки

n

элементов:

P_n = n!

Размещение — Выбор

k

из

n

с учётом порядка (порядок важен):

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Сочетание — Выбор

k

из

n

без учёта порядка:

C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Классическая вероятность — При равновозможных исходах — отношение числа благоприятных исходов к общему числу:

P(A) = \frac{m}{n}

0 \le P(A) \le 1

Формулы комбинаторики

Понятие	Формула	Порядок
Перестановка	$P_n = n!$	важен
Размещение	$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$	важен
Сочетание	$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$	не важен

Соотношение $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ выполняется для всех допустимых $n$ .

Факториал и частные случаи

Выражение	Значение
$0!$	$1$
$5!$	$120$
$6!$	$720$
$C_n^0$	$1$
$C_n^n$	$1$

$C_7^0 = 1$ и $C_8^8 = 1$ , так как $0! = 1$ .

✎Вероятность одновременного извлечения 2 белых шаров

1Условие: В мешке $3$ белых и $5$ чёрных шаров (всего $8$ шаров). Одновременно извлекаются $2$ шара; требуется найти вероятность того, что оба шара белые.
2Общее число исходов: Так как выбор не упорядочен: $n = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ .
3Число благоприятных исходов: Выбрать двух белых из $3$ белых: $m = C_3^2 = 3$ .
4Вероятность: $P = \frac{C_3^2}{C_8^2} = \frac{3}{28}$ .

✎Количество перестановок слова БАНАН (повторяющиеся буквы)

1Условие: Буквы Б, А, Н, А, Н: всего $5$ букв, при этом А повторяется дважды, Н — тоже дважды.
2Все расстановки: Если бы все буквы были различными: $5! = 120$ .
3Деление на повторения: Внутренний порядок одинаковых букв не создаёт новых вариантов, поэтому делим на $2!$ (для А) и $2!$ (для Н).
4Ответ: $\frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30$ различных расстановок.

🚫Частая ошибка

При последовательном извлечении без возврата нельзя считать вероятность второго извлечения неизменной: правильная вероятность извлечения двух чёрных шаров равна $\frac{3}{10}$ , а не $\frac{9}{25}$ .

⚠️Внимание

Если порядок важен — используйте размещение ( $A_n^k$ ), если не важен — сочетание ( $C_n^k$ ): $C_5^2 = 10$ , но $A_5^2 = 20$ .

⚠️Внимание

Последовательные независимые выборы ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ, взаимоисключающие варианты СКЛАДЫВАЮТСЯ: число комплектов равно $3 \cdot 4 = 12$ , а не $3 + 4 = 7$ .

💡Заметка

В задачах типа «хотя бы один» используйте противоположное событие: $P = 1 - P(\bar{A})$ , например $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ .

💡Заметка

Помните по определению $0! = 1$ ; поэтому $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$ .

Правила

1Правило произведения: при последовательных независимых этапах числа ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ; правило сложения: при взаимоисключающих вариантах числа СКЛАДЫВАЮТСЯ.
2Перестановка (порядок важен, все элементы): $P_n = n!$ .
3Размещение (порядок важен, $k$ выбирается): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .
4Сочетание (порядок не важен): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
5Классическая вероятность: $P(A) = \frac{m}{n}$ , $0 \le P(A) \le 1$ , $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

Лёгкий Средний Сложный Микс