eg1-4.1· Глава 4: Тригонометрия· ~14 мин

Тригонометрические выражения и тождества

Единичная окружность, основные значения, формулы приведения и формулы суммы и разности для упрощения выражений.

Тригонометрические углы измеряются как в градусах, так и в радианах: 180∘=π180^\circ = \pi радиан. На единичной окружности синус угла равен ординате точки, а косинус — абсциссе. Основное тождество sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 лежит в основе всех вычислений.

Формулы приведения (например, sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha) и формулы двойного угла (sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha) позволяют упрощать выражения.

📌Пример

Например, cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅sin⁡30∘=22⋅32−22⋅12=6−24\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ\cdot\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\cdot\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.

Графики

Единичная окружность: точка P, соответствующая углу α, cos α (абсцисса) и sin α (ордината)
Единичная окружность: точка P, соответствующая углу α, cos α (абсцисса) и sin α (ордината)

Ключевые термины

Единичная окружность — Окружность с центром в начале координат и радиусом 11; синус угла равен ординате точки, а косинус — абсциссе.
Основное тригонометрическое тождество — Для любого α\alpha выполняется равенство sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
Радиан — Единица измерения угла; 180∘=π180^\circ = \pi радиан, следовательно 90∘=π290^\circ = \frac{\pi}{2}, 60∘=π360^\circ = \frac{\pi}{3}.
Формулы приведения — Формулы, сводящие углы, содержащие 90∘90^\circ, 180∘180^\circ и т. д. в сумме или разности, к основному углу, например sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha.
Формулы суммы и разности — sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta; cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta.
Формулы двойного угла — sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha и cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.
Значения стандартных углов
Уголsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0∘0^\circ001100
30∘30^\circ12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45∘45^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60∘60^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
90∘90^\circ1100−-

Основные значения — с помощью формул приведения по этой таблице переходят к другим четвертям.

Формулы приведения и знаки
ВыражениеУпрощение
sin⁡(90∘−α)\sin(90^\circ - \alpha)cos⁡α\cos\alpha
cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ + \alpha)−sin⁡α-\sin\alpha
sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha)sin⁡α\sin\alpha
sin⁡(180∘+α)\sin(180^\circ + \alpha)−sin⁡α-\sin\alpha

В III четверти (например, 240∘240^\circ) косинус отрицателен; обращайте внимание на знак в четвертях.

✎Найдите значение cos⁡75∘\cos 75^\circ
  1. 1Разбейте угол: Записываем 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ и применяем формулу суммы.
  2. 2Формула суммы: cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ.
  3. 3Подставьте значения: =22⋅32−22⋅12= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}.
  4. 4Результат: =64−24=6−24= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
✎Если tan⁡α=2\tan\alpha = 2, найдите значение sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}
  1. 1Разделите на cos⁡α\cos\alpha: Делим числитель и знаменатель на cos⁡α\cos\alpha; sin⁡αcos⁡α=tan⁡α\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha.
  2. 2Запишите через тангенс: tan⁡α+1tan⁡α−1\frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1}.
  3. 3Подставьте tan⁡α=2\tan\alpha = 2: 2+12−1=31\frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1}.
  4. 4Результат: =3= 3.
🚫Частая ошибка

Не забывайте о знаке в четверти: 240∘240^\circ находится в III четверти, поэтому cos⁡240∘=−12\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}, а не 12\frac{1}{2}.

⚠️Внимание

Не путайте sin⁡\sin и cos⁡\cos: значение 12\frac{1}{2} — это sin⁡30∘\sin 30^\circ, тогда как tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.

💡Заметка

Связь градусов и радиан: 180∘=π180^\circ = \pi. Следовательно, 90∘=π290^\circ = \frac{\pi}{2}, 60∘=π360^\circ = \frac{\pi}{3}, 45∘=π445^\circ = \frac{\pi}{4}, 30∘=π630^\circ = \frac{\pi}{6}.

💡Заметка

Когда видите 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha, угол удваивается: например, 2sin⁡15∘cos⁡15∘=sin⁡30∘=122\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.

⚠️Внимание

Следите за знаком в формуле суммы: sin⁡75∘=6+24\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (плюс), cos⁡75∘=6−24\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} — не перепутайте их.

Правила

  1. 1sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1; tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  2. 2sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
  3. 3cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
  4. 4sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha; cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha
  5. 5180∘=π180^\circ = \pi радиан; sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс