eg1-4.2· Глава 4: Тригонометрия· ~14 мин

Тригонометрические уравнения

Простые тригонометрические уравнения, формулы общего решения и нахождение корней на заданном промежутке.

Решение уравнения sin⁡x=a\sin x = a: x=(−1)n⋅arcsin⁡a+πnx = (-1)^n\cdot\arcsin a + \pi n; решение cos⁡x=a\cos x = a: x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n; решение tan⁡x=a\tan x = a: x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n (n∈Zn \in \mathbb{Z}).

Для частных случаев используют упрощённые формулы: sin⁡x=0⇒x=πn\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n. В уравнениях, сводящихся к квадратным, выполняют замену t=sin⁡xt = \sin x (или cos⁡x\cos x) и решают полученное квадратное уравнение.

📌Пример

Например, уравнение sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} имеет решение x=(−1)n⋅π6+πnx = (-1)^n\cdot\frac{\pi}{6} + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.

Графики

Графики функций sin x и cos x на промежутке [0; 2π]
Графики функций sin x и cos x на промежутке [0; 2π]

Ключевые термины

Простое тригонометрическое уравнение — Уравнение вида sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=a\cos x = a или tan⁡x=a\tan x = a; его решение даёт бесконечное число серий корней.
Общее решение (серия корней) — Формула, выражающая все корни уравнения через целое число n∈Zn \in \mathbb{Z}, например x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n.
Период функции — Период синуса и косинуса равен 2π2\pi, период тангенса — π\pi; именно это определяет +πn+\pi n или +2πn+2\pi n в формуле корней.
Условие существования корней ∣a∣≤1|a| \le 1 — Уравнения sin⁡x=a\sin x = a и cos⁡x=a\cos x = a имеют корни только при ∣a∣≤1|a| \le 1; для тангенса aa может быть любым числом.
Замена t=sin⁡xt = \sin x — В уравнении, сводящемся к квадратному, полагают t=sin⁡xt = \sin x (или t=cos⁡xt = \cos x); полученное квадратное уравнение решают и возвращаются к тригонометрической переменной.
Посторонний корень — Значение ∣t∣>1|t| > 1, полученное из t=sin⁡xt = \sin x или t=cos⁡xt = \cos x, не удовлетворяет уравнению и отбрасывается.
Формулы общего решения простых уравнений
УравнениеУсловиеОбщее решение (n∈Zn \in \mathbb{Z})
sin⁡x=a\sin x = a∣a∣≤1|a| \le 1x=(−1)narcsin⁡a+πnx = (-1)^n\arcsin a + \pi n
cos⁡x=a\cos x = a∣a∣≤1|a| \le 1x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n
tan⁡x=a\tan x = aлюбое aax=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n

Синус даёт одну серию с (−1)n(-1)^n, косинус — две серии с ±\pm, тангенс — одну серию.

Готовые корни для частных значений
УравнениеКорни (n∈Zn \in \mathbb{Z})
sin⁡x=0\sin x = 0x=πnx = \pi n
sin⁡x=1\sin x = 1x=π2+2πnx = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
cos⁡x=0\cos x = 0x=π2+πnx = \frac{\pi}{2} + \pi n
cos⁡x=1\cos x = 1x=2πnx = 2\pi n
cos⁡x=−1\cos x = -1x=π+2πnx = \pi + 2\pi n
tan⁡x=0\tan x = 0x=πnx = \pi n

В частных случаях знак ±\pm или множитель (−1)n(-1)^n излишни, так как одна серия охватывает все корни.

✎Решите уравнение cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2}
  1. 1Выбираем формулу: Уравнение косинуса: x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, a=−12a = -\frac{1}{2}.
  2. 2Находим значение arccos⁡\arccos: Для отрицательного значения: arccos⁡(−12)=π−π3=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
  3. 3Подставляем в формулу: x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}. Период 2π2\pi остаётся прежним.
  4. 4Ответ: x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
✎Решите уравнение 2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2 x - \cos x - 1 = 0
  1. 1Замена: Полагаем t=cos⁡xt = \cos x: 2t2−t−1=02t^2 - t - 1 = 0, при условии ∣t∣≤1|t| \le 1.
  2. 2Решаем квадратное уравнение: Корни: t=1t = 1 и t=−12t = -\frac{1}{2}; оба удовлетворяют условию ∣t∣≤1|t| \le 1.
  3. 3Случай cos⁡x=1\cos x = 1: Частный случай: x=2πnx = 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  4. 4Случай cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2}: x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  5. 5Ответ: x=2πnx = 2\pi n и x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
✎Сколько корней имеет уравнение sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} на промежутке [0;2π][0; 2\pi]?
  1. 1Общее решение: x=(−1)nπ6+πnx = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  2. 2Перебираем корни по промежутку: n=0n = 0: x=π6x = \frac{\pi}{6}; n=1n = 1: x=π−π6=5π6x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. Оба лежат в [0;2π][0; 2\pi].
  3. 3Проверяем следующие корни: n=2n = 2: x=2π+π6>2πx = 2\pi + \frac{\pi}{6} > 2\pi; выходит за пределы промежутка, не включается.
  4. 4Ответ: На промежутке 22 корня.
🚫Частая ошибка

Для tan⁡x=−1\tan x = -1 писать период 2πn2\pi n — ошибка: период тангенса равен π\pi, поэтому x=−π4+πnx = -\frac{\pi}{4} + \pi n.

⚠️Внимание

Не путайте формулы синуса и косинуса: для sin⁡x=a\sin x = a нужны (−1)n(-1)^n и +πn+\pi n, для cos⁡x=a\cos x = a — ±\pm и +2πn+2\pi n.

⚠️Внимание

Если аргумент имеет вид kxkx, период тоже изменяется: в tan⁡3x=3\tan 3x = \sqrt{3} сначала 3x=π3+πn3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, затем делим на 33 и получаем x=π9+πn3x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}.

💡Заметка

После сведения к квадратному уравнению отбрасывайте корни, при которых ∣t∣>1|t| > 1 для t=sin⁡xt = \sin x или t=cos⁡xt = \cos x — они посторонние.

💡Заметка

Для отрицательного косинуса: arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a) = \pi - \arccos a; например, для cos⁡x=−32\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} получаем arccos⁡=5π6\arccos = \frac{5\pi}{6}.

Правила

  1. 1sin⁡x=a\sin x = a, ∣a∣≤1|a| \le 1: x=(−1)n⋅arcsin⁡a+πnx = (-1)^n\cdot\arcsin a + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  2. 2cos⁡x=a\cos x = a, ∣a∣≤1|a| \le 1: x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  3. 3tan⁡x=a\tan x = a: x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  4. 4Частные случаи: sin⁡x=0⇒x=πn\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n; sin⁡x=1⇒x=π2+2πn\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; cos⁡x=1⇒x=2πn\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n.

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс