eg1-5.1· Глава 5: Геометрия и измерения· ~14 мин

Треугольники: площадь, подобие, теоремы синусов и косинусов

Задачи на треугольники с применением теорем Пифагора, Герона, синусов и косинусов, подобия и отношений площадей.

Площадь треугольника можно вычислить по различным формулам: S=12⋅a⋅hS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h (основание и высота), S=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C (две стороны и угол между ними), формула Герона S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где pp — полупериметр.

Теорема синусов: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, теорема косинусов: a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A. В подобных треугольниках, если отношение линейных размеров равно kk, отношение площадей равно k2k^2.

📌Пример

Например, площадь треугольника со сторонами 55 и 88 и углом 30∘30^\circ между ними: S=12⋅5⋅8⋅sin⁡30∘=12⋅5⋅8⋅0,5=10S = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot 0,5 = 10.

Ключевые термины

Полупериметр pp — Половина суммы сторон треугольника: p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}. Используется в формуле Герона.
Формула Герона — Площадь треугольника по трём известным сторонам: S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
Теорема синусов — asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, где RR — радиус описанной окружности.
Теорема косинусов — a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A — позволяет найти сторону по двум сторонам и углу.
Коэффициент подобия kk — Отношение линейных размеров (сторон, периметров) подобных треугольников; отношение площадей равно k2k^2.
Радиус вписанной окружности rr — Радиус окружности, вписанной в треугольник: r=Spr = \frac{S}{p} (SS — площадь, pp — полупериметр).
Формулы площади треугольника
ДаноФормула
Основание и высотаS=12⋅a⋅hS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h
Две стороны и угол между нимиS=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C
Три стороны (Герон)S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Прямоугольный (катеты)S=12⋅a⋅bS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b
Равносторонний (сторона aa)S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Выбор формулы зависит от того, какие величины известны.

Теоремы и отношения
НазваниеСоотношение
Теорема Пифагораc2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 (гипотенуза cc)
Теорема синусовasin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R
Теорема косинусовa2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
Площадь при подобииS1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2
Радиус вписанной окружностиr=Spr = \frac{S}{p}

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

✎Площадь по формуле Герона (стороны 1313, 1414, 1515)
  1. 1Полупериметр: p=13+14+152=422=21p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21.
  2. 2Разности: p−a=21−13=8p-a = 21-13 = 8,   p−b=21−14=7\;p-b = 21-14 = 7,   p−c=21−15=6\;p-c = 21-15 = 6.
  3. 3Подкоренное выражение: S=21⋅8⋅7⋅6=7056S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056}.
  4. 4Результат: S=7056=84S = \sqrt{7056} = 84.
✎Третья сторона по теореме косинусов (стороны 55 и 88, угол 60∘60^\circ)
  1. 1Записываем формулу: c2=a2+b2−2abcos⁡C=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡60∘c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos 60^\circ.
  2. 2Подставляем значение угла: cos⁡60∘=0,5\cos 60^\circ = 0{,}5, значит c2=25+64−80⋅0,5c^2 = 25 + 64 - 80\cdot 0{,}5.
  3. 3Вычисляем: c2=89−40=49c^2 = 89 - 40 = 49.
  4. 4Результат: c=49=7c = \sqrt{49} = 7.
🚫Частая ошибка

Не забывайте множитель 12\frac{1}{2} в формуле площади: при сторонах 99 и 1010 и угле 90∘90^\circ получаем S=12⋅9⋅10=45S = \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10 = 45, а не 9090 (число 9090 — это просто произведение a⋅ba\cdot b).

⚠️Внимание

sin⁡150∘=0,5\sin 150^\circ = 0{,}5, а не 32\frac{\sqrt{3}}{2}. Если перепутать 150∘150^\circ и 60∘60^\circ, в ответ ошибочно попадёт 3\sqrt{3}.

⚠️Внимание

В теореме синусов asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R. Если нужно найти RR, разделите полученное значение на 22 — взяв asin⁡A\frac{a}{\sin A} напрямую, вы получите 2R2R, а не RR.

💡Заметка

В подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: при k=4k=4 имеем S1S2=16\frac{S_1}{S_2}=16. Обратно: если отношение площадей равно 925\frac{9}{25}, то отношение периметров равно его корню 35\frac{3}{5}.

💡Заметка

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому R=гипотенуза2R = \frac{\text{гипотенуза}}{2} (например, для треугольника 66-88-1010: R=5R = 5).

Правила

  1. 1S=12⋅a⋅b⋅sin⁡C=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}
  2. 2Теорема синусов: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
  3. 3Теорема косинусов: a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A
  4. 4В подобных треугольниках S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2 (kk — коэффициент подобия)
  5. 5В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n, S=12⋅a⋅bS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b

Тренировка

15 лёгких · 15 средних · 15 сложных

В каждом тесте — 10 случайных вопросов

ЛёгкийСреднийСложныйМикс